哪位大神能用科普性的語言簡單介紹下「數論」是研究什麼？

01-22

哪位大神能用科普性的語言簡單介紹下「數論」是研究什麼？

研究數的

我覺得日本的翻譯方法很好。那裡數論叫整數論。

明白了吧？所謂number theory又叫integer number theory。數論就是研究與整數有關的命題的學科。當然現代數論都是以前面所說的研究整數相關命題的這種相對狹義的數論為終極目的（如FLT的解決）或是以整數性質為手段研究別的數學理論（據說素數定理已經被用於某些代數命題的證明）而發展出的一大類科目。

另外，樓上所說的數論分類在當今已經不是很適合。如計算數論作為橫跨數學，計算機的應用極廣，討論也極深入的一個數論分支，就無法納入初等，解析，代數，幾何這幾類的數論類型中去。

而且解決一個現代的數論問題已經不局限於某一種特定的方法或者領域了，更多地是要綜合各種手段。所以數論的分類變得不再明顯，也不再重要（雖然我認為從不重要）。

當然，如此龐大的數學體系是任何一個人都無法完全掌握的。所以有專長是必需的，但這並不意味著研究手段的單一性會帶來任何好處。

以上大部分為個人觀點，歡迎指正。

古典數論研究整數的性質。大致手法是加加減減，但是也有不少巧奪天工的證明，如siegal證明質數分布規律。丟翻圖方程，孿生素數，黎曼猜想，都屬於這類。（吐槽下貌似很多民科都喜歡玩這個）

現代數論利用各種奇♂怪的方法，研究的問題大多脫胎於古典數論。建立了新的學派，解析數論、代數幾何、（多）複變函數，更為複雜精緻。費馬大定理，一般五次方程，abc猜想，都屬於這類。

深坑，小心地入♂。

從數論數學家的角度分析，厲害的研究數論的數學家是在一個體系中尋找令人耳目一新的方法，而偉大的數學家是那些建立體系的人

樓上各位回答得很全面了。

簡而言之，數論是研究數字的學問（尤其是整數），被認為是最純粹的數學領域，『比數學更接近數學』。

人們在對整數進行運算的應用和研究中了解了整數的特性。利用整數的一些基本性質，可以進一步探索許多有趣和複雜的數學規律，正是這些有趣的數學規律吸引了數學家的不斷地研究和探索。

數論這門學科最初是從研究整數開始的，所以叫做整數論。後來整數論又進一步發展，就叫做數論了。確切的說，數論就是一門研究整數性質的學科。

數論形成了一門獨立的學科後，隨著數學其他分支的發展，研究數論的方法也在不斷發展。如果按照研究方法來說，可以分成初等數論、解析數論、代數數論和幾何數論四個部分。

我只粗略的學過初等數論。初等數論大致在講這麼幾件事吧。

1.整除相關的一些性質定理。

引入了整數因數、倍數、素數、合數等等概念，證明了素數無數多個，然後相關定理就有唯一分解定理，裴蜀定理（有個漂亮的推論a,b互素的充要條件是存在整數x,y使ax+by=1），輾轉相除法，以及算術基本定理。

2.同餘理論。

高斯在《算術研究》定義了同餘、原根、指數、平方剩餘、同餘方程等等概念。然後這裡就有了高斯二次互反律，歐拉定理，費馬小定理，Wilson定理，中國剩餘定理等等漂亮的理論。

3.連分數理論。

引入了連分數概念和演算法等等。特別是研究了整數平方根的連分數展開。主要成果：循環連分數展開、最佳逼近問題、Pell方程（ $x^{2}-dy^{2} =1$ ）求解。

4.不定方程。

主要研究了低次代數曲線對應的不定方程，比如勾股方程的商高定理、Pell方程的連分數求解。也包括了四次費馬方程的求解問題等等。

5.一些數論函數。

比如Euler函數、M?bius函數等等。

大概就這麼多吧，謝邀。不是大神TωT