如何計算斜橢圓形繞x軸的旋轉體體積？

卸腰。

這個其實有個小技巧，不需要任何微積分就能求出第一問面積

把原曲線化成二次型矩陣 的形式

而 ，說明這個曲線圍成的面積就等於 也就是 圍成的面積，而顯然 圍成的面積是 。

更一般的，有二次型 ，其對應二次型矩陣是 ，那麼它圍成的面積就是 。因為它可以看成是 也就是 經過線性變換 以後的曲線，而 就是這個線性變換的放大率。

第二問可以先把 解出來，

有 ，所以有

又易知 交x軸於

所以

所以

第一問，法①

將題中式子：

對y進行降次整理得到：

並把其看成關於y的一元二次函數，求y的根，易得：

這兩個函數即為橢圓的上半部分曲線和下半部分曲線，且易判斷:

則面積為:

//結束

第一問，法②

將題中式子:

進行一次分解因式整理得到:

觀察整理結果，可設:

則面積為:

用描點法粗略畫出圖像，可易分析出兩個y分別對應哪個θ，便可得:

//計算過程略

//結束

第二問

※第二問主要考驗計算能力，沒有什麼技術含量。

我們只分析平面坐標系第一、四象限的曲線做成的旋轉體，也就是體積的一半即可。

//計算過程略

體積等於面積乘以重心旋轉形成的曲線長度。

這點用微積分可以簡單證明。

第一問還有更簡單的方法.

曲線方程變形為

A=x;B=x-y

由於在//處做出的變化雅克比行列式‖J‖=1

故易得S=πr2=2π