司馬甄姬在國戰中洛神的期望是多少張牌？

01-22

國戰中，假設司馬甄姬三血，三張黑色手牌，那麼鬼才改判洛神的結果，洛神獲得牌的期望是多少？

為了計算和說明的方便假定每次摸牌的出黑色概率恆為 $frac{1}{2}$ 。（事實上這個假設並不合理，因為國戰總牌數為108張，一般情況下，在一局比賽的任何時間，手牌、判定區、裝備區的總牌數大約30至40張，於是牌堆就只有不到70張牌，而 $frac{35}{70}$ 和 $frac{30}{70}$ 的差別已經超出誤差範圍了。）

考慮到手中有3張黑色的手牌，在國戰甄姬的技能條件下，每次洛神成功的牌是不歸入手牌的，也就是說只有3次修改判定的機會。那麼我們可以認為連續洛神遇到第4張紅牌之前的所有牌均是洛神所得。因此簡化為只要尋找第4張紅牌的期望位置 $x$ 。
在最前面的假設條件下，可以推出第4張紅牌的期望位置和第4張黑牌的期望位置均為 $x$ ，但是概率都為 $frac{1}{2}$ 。直觀的理解，就是在第 $x$ 張的位置期望上會抽出一張半紅半黑的牌。為了保證完整性，前面必須抽出來另外一半牌。也就是在第 $1...x-1$ 張牌中，紅牌和黑牌的期望張數均為 $(4-1)+frac{1}{2}=frac{7}{2}$ 張。
$x=frac{7}{2}+frac{7}{2}+1=8$ ，因此總摸牌數的期望為7張。

（結尾彩蛋）

先放答案，理論上洛神獲得的牌數（包括鬼才改判的牌）是7。

何為理論上，是指將牌堆理想化的結果。假設如下：牌堆無限；每張牌的顏色為紅或黑，且概率均為 $frac{1}{2}$ ；牌與牌之間相互獨立。

好了，接下來我們先從簡單的入手分析。

（一）司馬姬0黑手牌（也即單甄姬）時洛神的期望是多少？記為 $E_{0}$ 。

答案是1。

說一下過程：

洛神0張的概率是多少？ $frac{1}{2}$ 。第一下就判紅嘛。

1張的概率？ $frac{1}{4}$ 。第一次判黑，第二次紅了。（ $frac{1}{2} imes frac{1}{2}$ ）

2張呢？ $frac{1}{8}$ 。黑黑紅。（ $frac{1}{2} imes frac{1}{2} imes frac{1}{2}$ ）

以此類推……洛神 $n$ 張的概率是 $frac{1}{2^{n+1} }$ 。因此期望的計算為 $E_{0}=sum_{i=0}^{infty }{frac{i}{2^{i+1} } }$ 。

這個級數求和不難吧，結果是1。要是不會的話歡迎點個贊私聊問我哦~

（二）司馬姬1黑手牌時洛神的期望是多少？記為 $E_{1}$ 。

是2嗎？在沒見到這道題之前答主也單純地認為是2，細算之後打了我的臉。

答案是3。

死算的方法如下：

0張概率？0。就算紅了我也能改一次，至少洛1張。

1張概率？ $frac{1}{4}$ 。第一次紅，改黑；第二次又紅。（ $frac{1}{2} imes frac{1}{2}$ ）

2張概率？ $frac{2}{8}$ （ $frac{1}{4}$ ）。（紅改黑）黑紅，黑（紅改黑）紅，2種情況。（ $frac{1}{8} imes 2$ ）

3張概率？ $frac{3}{16}$ 。（紅改黑）黑黑紅，黑（紅改黑）黑紅，黑黑（紅改黑）紅，3種情況。（ $frac{1}{16} imes 3$ ）

規律似乎出來了，洛神 $n$ 張的概率是 $frac{n}{2^{n+1} }$ 。因此期望的計算為 $E_{1}=sum_{i=0}^{infty }{frac{i^2}{2^{i+1} } }$ 。

這個級數的求和過程我也不想放出來，碼字太累，結果是3。點了贊我也不會告訴你→_→

可是這樣做太繁瑣了啊，我連做2黑手牌的慾望都沒有了。有沒有簡單的方法啊老師？

當然有啦。

$EX=E(E(X|Y))$ ，這是一個美妙的公式，我的期望等於我條件期望的期望。

取公式中的事件 $Y$ 為第一張牌的顏色。

若第一張為黑，則接下來的動作與原先的動作一模一樣（相互獨立造成的無後效性）。此時的條件期望為 $E_{1}+1$ ，多出來的1是第一張的黑。

若第一張為紅，則改判之，接下來的動作與0黑手牌開始洛神無異。此時的條件期望為 $E_{0}+1$ ，多出來的1是第一張的紅改黑。

得到方程： $E_{1}=frac{1}{2} imes (E_{1}+1)+frac{1}{2} imes (E_{0}+1)$

解得： $E_{1}=3$

更一般的方程是這樣的： $E_{n+1}=frac{1}{2} imes (E_{n+1}+1)+frac{1}{2} imes (E_{n}+1)$

有了這個方程就能遞推了呢，遞推公式如下：

$E_{n+1}= E_{n}+2,ngeq 0\E_{0} =1$

再得到通項公式： $E_{n}=2n+1,ngeq 0$

所以 $E_{3}=7$ 啦，完美解決，撒花，(≧▽≦)/

結尾彩蛋

概率論已經忘得精光

我來把這個題目稍微改寫一下。。

至於算的話表示完全忘記怎麼算了

=====================

一個袋子里有無數個形狀大小一樣的球，其中紅球佔一半，黑球佔一半

一次拿出一個球，請問當拿出四個紅球的時候，拿出黑球的個數的期望

=====================

至於怎麼算我再回去想想。。。目測是想不出來

每次洛神期望是摸一張牌。改判相當於多一次洛神機會。所以一共四次洛神機會，多摸四牌，加上原來的三牌，期望是七牌

有三張黑的所以就是能改三張紅的

所以是第四張紅時結束洛神

紅跟黑的幾率一樣

出現四張紅的時候期望出現的黑也是四張

所以能多摸四張（前三張就是三張，第四張跟洛神的期望是1一樣的原理吧）

也就是七張

每多一張牌

結束紅牌也後移一張

因此也多摸一張

所以能摸2n+1張

嗯剛好手邊有電腦就試著寫了一下。。結果確實是2n+1

#include& #include& #include&


int main()

{

	srand((unsigned) time(NULL));

	int i,n,p,s,h,t;

	scanf("%d",n);

	scanf("%d",p);

	p*=1000;

	s=0;

	for (i=0;i&

 
  推薦閱讀：


※一張五十首歌的歌單，每首歌三到五分鐘，隨機播放。至少聽多少分鐘才能有90%的把握把每首歌都聽過了？
※伽瑪分布和指數分布的關係？
※誰能比較淺顯易懂地解釋下Restricted Boltzmann Machine,或者提供相關的鏈接？
※一群人同時咳嗽的機率有多大？
※廣義線性模型（GLM）中的Binomial分布的連接函數為什麼是logit？
TAG:三國殺 | 概率論 |