數學家發現了更大的素數，這究竟有什麼意義呢？

01-22

作者 Kenneth Chang
翻譯 Lineker

在中央密蘇里大學（University of Central Missouri）衛星校園裡的一座計算機實驗室中，一台在其他人看起來毫不起眼的台式電腦，即143室中的5號機，將74,207,281個2乘在一起，再減去1。之後，它通過檢驗發現這個計算出來的數字，不能被除1和它自身之外的其他任何整數所整除——這正是素數的定義。
這個巨大的數字只能以指數記數法表示出來，即2 ^ 74,207,281 - 1。先前出現的最大素數為2 ^ 57,885,161 - 1，其位數約為1700萬位。

not for anything, Just I Can.

說RSA加密的都是瞎扯，你給我個這麼長的合數我一秒就知道你是乘了這個素數。。

這個東西的意義是啥？現在的大素數搜索/電腦驗證全是分配製的（比如說比較有名的prime grid, seventeen or bust），用戶是想參加才去參加的。梅森素數的搜索完全就是為了尋找大素數，這個東西和世界紀錄一樣，找到了就留下了一個名字，梅森素數正好是最容易測試最容易找的大素數。

其他的素性測試基本上就是為了證明某某猜想或者用數據支持某種猜想，比如說seventeen or bust就是著名的sierponski number問題。

我看到你這個標題的時候，我就覺得這個描述總有點不是太好。

基於以下兩個事實：

1. 算乘法很簡單 2.素數是有無窮多個的。

原來錯誤的論述：

第一個我就不多說了，第二個需要提一下。如果所有已知素數是p1,p2,p3,p4...pn，則 $Pi p_{i} +1$ 必然是一個素數，這個漂亮的證明來自阿基米德。

感謝 @Bigan W 指出，現更正如下：

假若素數只有有限多個，設最大的一個是P，從2到P的全體素數是：

　　2，3，5，7，11……，P。
　　所有的素數都在這裡，此外再沒有別的素數了。
　　現在，我們來考察上面從2到P的全體素數相乘、再加上1這個數，設它是A，即
　　A=2×3×5×7×11×……×P+1。
　　A是一個大於1的正整數，它不是素數，就是合數。
　　如果A是素數，那麼，就得到了一個比素數P還要大的素數，這與素數P是最大素數的假設矛盾。
　　如果A是合數，那麼，它一定能夠被某個素數整除，設它能被g整除。
　　因為A被從2到P的任何一個素數除，餘數都是1，就是都不能整除，而素數g是能整除A的，所以素數g不在從2到P的全體素數之中。這說明素數g是一個比素數P更大的素數，這又與P是最大的素數的假設矛盾。上面的證明否定了素數只有有限多個的假定，這就證明了素數是無窮多個。

所以，找到的這個所謂的最大素數，這種表述是不正確的，應該是已知的最大素數。

然而，這個素數有什麼特別的嗎？其實，我看到標題的時候就隱隱覺得，這裡說的應該是梅森數。看錶現形式果不其然啊。

打開Mathematica跑了一下，測試 $ext{PrimeQ}[74207281]$

結果當然是True，所以，這裡找到的應該是已知的最大梅森數。

關於這個梅森數，可以看這裡：

花費大量算力尋找梅森素數的意義是什麼？ - 計算機下面 @zhen-liang 的回答

關於梅森數，我再補充（啰嗦）一個：

1. 關於完全數。又稱完美數或完備數，是一些特殊的自然數。它所有的真因子（即除了自身以外的約數）的和恰好等於它本身，則稱該數為「完全數」。大數學家歐拉曾推算出完全數的獲得公式：如果p是素數，且 $2^p-1$ 也是素數，那麼 $(2^p-1) imes 2^{p-1}$ 便是一個完全數。所以，你找到了一個梅森數，就能找到一個完全數，至於完全數有什麼實際應用，我倒沒怎麼看到。

關於大素數，再補充另一個。

2. 加密。關於大素數加密的最典型應用，就是RSA加密演算法，感興趣的可以參考百度百科相應詞條：RSA演算法_百度百科。當然，我一開始沒說清楚，RSA加密採用的是隨機大素數，而不是梅森數，不然容易被暴力攻擊。

大素數可以用來構建偽隨機與加密裝置。

數學家發現的是更大的素數，木有最大的素數

素數在數學史上有獨特的意義，它是數論和抽象代數中的重要對象，也因為黎曼猜想與複分析有密切關係。數學因為素數而得到了很大發展，任何素數相關的問題都會引起數學界的關注。另外，大數分解是現代加密技術的基礎，因此對實際應用也有重要意義。

所以，是否是已知最大素數並不太重要，重要的是發現的過程，以及間接得到的結論。

做很多事可能並不需要有什麼意義，意義可能只是我們人類強行去賦予的。因為那件事存在啊，存在我就去研究咯。

生物學家難道只能研究大象嗎？其他的動物就不用研究了？

如果非得要說有意義，可能有些事情現在看起來沒有用，在以後可能會成為一個突破口，促使人類進步。研究本身存在的東西，探尋整個世界宇宙的奧秘可能就是最大的意義。

本人的一點拙見，

對於說梅森素數用於加密的答案有些許質疑：

1 對於傳統的rsa加密，在最低密級限定後（過去128bit現在256bit）一般沒有人去找特別大的素數而且更重要的對於現在常用的gnfs分解質因數演算法它的複雜度大約在Ln（1/3）而對於梅森數計算速度更快所以感覺梅森數不適宜用來加密啊。。

2 對於橢圓曲線一個大的素數確實可以很大程度提高密級（在其整點群足夠一般的情況下）但是現在沒有在任意情況下行之有效的破譯方法其實不需要一個很大的素數來達到較強的密級吧。。

總之感覺梅森素數的研究價值還是體現在數論上，在密碼上的應用價值我沒有體會。。。

「至今為止被確認的最大的梅森素數」

稍微嚴謹一些的表示也許應該是這樣子的

梅森素數的發現在數論方向也許有其意義

用來加密。

匿名的全是大佬。