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振動力學實驗測梁結構的阻尼係數的推導？

01-22

求公式5-6的推導

先吐槽一下公式字母。用 $omega _0 omega$ 不好么。 $kp$ 想了半天才反應過來原來是倆頻率。

B對於P求偏導

$frac{dB}{dp}=-frac{2(k^2-p^2)(-2p)+8n^2p}{2(sqrt{(k^2+p^2)^2+4n^2p^2})}$

兩個解

$p=0$

$-(k^2-p^2)+2n^2=0$

第一個無意義，第二種情況下，B max 時，

$p=sqrt{k^2-2n^2}$

關於阻尼固有頻率以及振幅關係如圖，其中 $omega_0 (k), eta (n)$ ，橫軸為激勵頻率，縱軸為振幅平方。

基於梁屬於微小阻尼，即 $2n^2ll k^2$ ,得出結論， $ksimeq p$

振幅公式帶入結論可得，

$Bapprox frac{frac{h}{2p}}{sqrt{(k-p)^2+n^2}}$ 即 $B^2 =frac{h^2/4p^2}{(k-p)^2+n^2}$ 易得振幅最大值

$B_{max}^2=h^2/4p^2n^2$

半帶寬振幅

$B_{half} ^2=h^2/8p^2n^2$

帶入推導出來的B計算公式易得

$(k-p)^2=n^2$

$(k-(kpm Delta k/2))^2=n^2$

$Delta k=2n$ 即 $f_2-f_1=2n$

謝 @周競擇邀。

半功率法也叫半功率帶寬法。想要深入了解，可以用這個關鍵詞查找相關文獻。

這裡只推導公式5-6.

$B=frac{h}{sqrt{(k^2-p^2)^2+(2np)^2}}$

要求 $B_{max}$ ，就令 $frac{dB}{dp}=0$ ，

求解得到極值點 $p=ksqrt{1-frac{2n^2}{k^2}}$ 和 $p=-ksqrt{1-frac{2n^2}{k^2}}$ 。

分別帶入 $B=frac{h}{sqrt{(k^2-p^2)^2+(2np)^2}}$ 中可以得到 $p=ksqrt{1-frac{2n^2}{k^2}}$ （變形一下就是式5-5）對應的是最大值。

$B_{max}=frac{h}{sqrt{4 k^2 n^2 left(1-frac{2 n^2}{k^2} ight)+left(k^2-k^2 left(1-frac{2 n^2}{k^2} ight) ight)^2}}$

此時得到 $B_{max}$ ，要通過 $frac{B_{max}}{sqrt{2}}$ 反求 $p$ 值。

令 $B_{max}=frac{h}{sqrt{(k^2-p^2)^2+(2np)^2}}$ ，求解可得到

$p_1=sqrt{k^2+2 n^2}approx (k+n)$ 和 $p_2=sqrt{k^2-2 n^2}approx (k-n)$ 式中的約等於是應用小阻尼情況的化簡。

兩者相減可以得到式5-6。

西工大理力學生飄過……同表示字母看起來很難受。感謝前輩的提問與回答！

學長我沒弄懂。

答案抄了一半感覺不太對。然後推了下。畫橫線的地方是用答案倒退出來的，我已經選擇放棄。

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