如何才能讓學的數學靈活起來，或者說融會貫通？

emm，今天在數學學習過程中收到了幾個優秀回答者的啟發，嘗試著放慢刷題的步伐而是對一些答案進行深度的思考，雖然頗有收穫但還是有點迷茫。想請問各位怎樣才能將數學學到所謂的融會貫通，或者說面對一些相對靈活的題目如何應對。

（我目前所以為的就是對定理和公式的推導過程進行研究，為什麼這麼證，邏輯在哪裡。但還是有些迷茫，望各位大佬指點迷津）

ps：背題型 、背套路被否決後鄙人甚是迷茫，不知道該怎樣學習大學數學

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謝邀。

題主你要明白一件事情。學習從來不會是一件容易的事情，正確的方法往往一開始都是收效很慢的，所有的所謂「捷徑」其實都是捨棄了一些本質性的東西才得出的相對快捷的效率。

所有如果你想要真正的學好數學，就要按數學本身的規律來學習。數學本身的規律最本質的就是基於定義和概念的清晰的邏輯推導過程。至於計算，那也是邏輯推導的一部分，只不過是把推導的過程用數字和符號運算這種方式表達出來了而已。

這也就是為什麼我一直在說今年那個二階差分的題目不超綱的原因，因為差分的概念本身是作為考點要求的。剩下的只不過就是運算推導過程罷了。數學考試，考你點兒運算推導能力，不過分吧？

具體到題主和大多數人面對的考研數學這個問題，這裡面涉及到的內容其實就那麼些。主要就是微積分，線性代數，概率論這些東西。那麼首先你當然就應該把裡邊的定義和概念搞清楚，真的明白的知道它們到底說的是什麼意思。比如如果你能用自己的語言複述出來什麼叫極限，什麼叫積分，什麼叫矩陣的秩，而且能講的讓你的同學聽懂了。這就算是差不多掌握了。

然後做題當然是必要而且不可缺少的。但是做題不是讓你在那裡一算一天寫完幾根筆芯用完多少草稿紙，而是讓你熟悉那些推導過程是怎麼具體一步一步地完成的。所以做題要從例題開始，看例題的時候要時刻問自己這麼一個問題：他這一步是要幹嘛，是怎麼出來的？是為了化簡，是為了湊某個公式的具體形式，還是為了什麼別的目的？他這麼做的依據又是什麼，是基於等價無窮小量的代換，矩陣的變換，還是僅僅是單純算出來的。考研數學裡的題目，都不會有什麼太過冗長或者怪異艱深的思路，所以這個過程你多做幾次就應該能明白他是怎麼處理遇到的問題的。然後你遇到新的問題也可以按照類似的方法去思考處理。

說白了這個過程就是不要去硬記套路，然後碰到問題就往記住的那幾個套路上去套。而是要問自己，那些套路是怎麼來的，背後有著怎麼樣的思考過程。搞明白了這個，你自然就能把學到的內容和考卷上的題目聯繫起來，自然也就融會貫通了。

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謝邀：背題型、背套路是為了應付考試，問題來了，「考試成績好」等於「數學水平高嗎」？「考試成績好」等於「融會貫通」？不對吧。

放慢刷題，多思考才是對的思路。這幾天考研的事情鬧得沸沸揚揚，說什麼太難，需要腦子和智商，看得我想笑，難道選擇人才不選有腦子的人嗎？

很多學生錯誤地追求「做題不用腦子」，這是非常錯誤的。你一定要能區分「熟練」和「無腦做題」，很多人能作出題目，但是他自己只是靠「記憶力「和」這樣做就行「而已，對於這種人，你出題稍微靈活一點，他就不能接受了。然後做不出的題的還怪你考他「腦子」和「智商」，你很陰險。

舉個例子，甲和乙同時做一個問題，甲看過這個問題的題型，花了5分鐘做出來，答案標準，滿分。乙沒見過這個題型，他自己想出了一個方法，不但能做出問題還能搞定一大類。時間20分鐘。對於考試來說是前者才是贏家，如果前者不知道自己在做什麼，那麼其實後者才更懂數學。現實是前者反而能嘲笑後者，但是他在我看來在無腦做題。當然了，這是應試教育的悲哀。為了考試，你非得會套路不可，這是為了照顧很多腦子不夠活的人的悲哀，你切不可把題型當成圭臬了。

一個真正學習數學的人不可以「無腦」，他必然希望自己能面對各種狀況，這麼做到呢？我看過懷爾斯和Gelfand的回憶性文章，他們說自己學生時代都不會滿足「自己做對」，而是要明白自己為什麼能做對，為什麼做不出來。按照陶哲軒的說法是明白「一個工具的極限「。任何具體的數學方法都有自己的試用範圍，願意動腦子的人會自己去探索它的界限。類似的，泰格伍茲說過自己打球會明確控制自己，在練習的時候不但要打對球，而且要明白自己為什麼是對的。他熟練但是絕不「無腦」。

用腦子的學習方法是「緩慢」的，特別是一開始，因為如果你習慣靠「機械本能」和「記憶力」做題後，你需要改變自己的思維模式，自然一開始會難受，但你是習慣了，你就會慢慢靈活得多。方法除了多思考外，你也學會少做「套路」題，多去思考開放性和靈活性的問題。最後，你大腦內的知識會體系化，到時候你思考問題的速度和靈活性都會很好，這才是融會貫通。

當然了，這是學好數學的方法，不能保證你考試多成功。你數學好，考試搞個90-95分以上不難，但是剩下的5-10分有時候和數學沒啥關係。

你可以為了數學而學習也可以為了考試而學，但是別騙自己。以為自己背背題就是在努力學習了。你在自我滿足消解焦慮而已。

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我的經驗是給別人講題，尤其遇到思維不是很快但是很認真的同學，真的是會挑戰你每一步的邏輯，達到天衣無縫才能講透。講透了之後就會發現自己對這道題目，甚至是這類型的題目的理解又升華了。

好像是小學數學老師說的吧，會做題容易，會講題才證明你真的掌握了。

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我個人的經驗是，所有的學習，無論是數學還是別的什麼，都一定是要多想的。

網上很多人吹捧的費曼技巧啊，思維導圖啊什麼的，其實都不過是以一個模式強迫你思考的方法，因為人的大腦往往具有惰性。費曼技巧要求你用你已有的概念把新概念具體化甚至「庸俗化」，哪怕不考慮嚴謹性，其有效性在於如此能逼得你自己去想一個哪怕是荒謬的類比，這個類比至少是你自己建立理解的過程。思維導圖為什麼一定要自己畫呢？因為它的本質是知識的邏輯結構，而這種東西不自己去總結終歸是不行的。我懷疑現實中學習好的人鮮有是從這兩種學習方法中受益的，但他們一定都明白這樣做的道理。

所有的學習說到底就是模仿和記憶，但這樣模仿的質量有高有低，死記硬背只能記住最淺層的文字元號，只有主動去思考才能記住那些極端細節和技巧性的東西以及發現那些邏輯結構上共通的思想。你或許說這些技巧啊細節啊什麼的為什麼不寫在書上？因為語言的表達能力是有極限的啊，相關的細枝末節全部記錄下來一定會成繁卷浩帙，細節無限細分看是看不完的，所以只能把其中相似的東西取出來歸類，用例題之類的形式表現出來。這就是說你用大量例題來歸納其中的共通之處是可行的，但那也不是就此不思考甚至放棄對細節的質詢的原因啊。

基礎定理定義，不記下來肯定沒戲，基本方法，不練習肯定不熟，碰到另一種情況可能都記不起這種方法，所以真的要學無非就是八個字，仔細看書，仔細做題。但這實在是太難了，這些年我一直感慨自己都靜不下心來，實在是知易行難。要讓不以獲取知識為導向的學生做到這一點太難了，他們壓力也太大，所以希望有某種重複性工作的方法被證明和成績是正相關的，寧願以體力上的勞力代替大腦的勞累，以戰術上的勤快掩蓋戰略上的懶惰。但是通過刷題，甚至通過單一手段學習的好處肯定是邊際遞減的。試問他們真的對這些知識感興趣嗎？做題時能不能在自己的一點一滴中得到正反饋？一道困擾了很久的題目解決，有了自己的想法後，能不能由衷的開心呢？某些人就會說「那些東西在現實中沒多大用」，可能吧，但有心學數學的人真的不在乎它在現實中的用處，「不為無益之事，何遣有涯之生？」

所以還是李松蔚老師的那句話，「缺乏容忍簡單的能力。」

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這個問題恐怕是所有學數學的人，以及所有數學老師們都想得到答案的一個問題了。

高中我的數學老師就曾經說過一句讓我記憶終身的話：數學題，都是形散而神不散。

但是，這句話在數學裡面，具體來看是什麼意思呢？

就舉個簡單的例子吧，從一階線性微分方程說說：

我們有時候可以遇到這種特殊的方程 ,簡單觀察後就發現構造函數求解很方便： ,然後兩邊積分就可以了。

但更多時候，我們遇到的是很一般的例子 ,這個時候我們怎麼辦呢？

要記住，形散而神不散，我們看這兩個方程形式上相似度極高，唯一不隨人願的就是這個 的導函數不是 。

既然沒有，我們就自己去創造。思路來了，我們可以在等式兩端同時乘以一個新的函數 ，讓我們的方程變成 的新形式，使得 ,這不就又回到上一種題的處理方法了嘛。

上面的思考過程，最終的結果再延伸發散，就是我們都熟知的常數易變法法的由來，這就是為什麼我們非得把一個常數變成C(x)再進行計算的原因。

這麼說來，相信題主多少懂了一些吧，事實上，數學要想學的靈活，融會貫通，就應該對每個代數式條件、要求的結論等等的特點非常敏感，形式上的相似往往就預示著背後深刻的聯繫，特別是對於數學這一抽象化程度高，知識體系龐大的學科更是如此。

順便說幾句，個人感覺我國數學教育的缺點在於過分追求技巧而弱化了知識量的提升和知識結構的建立，尤其是知識結構。我們一定都聽過開爾文前輩說的這句異常經典的話：「物理學大廈已經建成，以後的工作僅僅是內部的裝修和粉刷，但是大廈上空還漂浮著兩朵『烏雲』，麥克爾遜－莫雷試驗結果和黑體輻射的紫外災難。」裡面就用到了「大廈」這個形象的比喻。數學物理這些學科對整個知識結構體系是非常依賴的，想要熟練的掌握數學這一工具，必須對所學內容有自己的體系理解，就拿我手邊的梅加強教授的《數學分析》來說，書中從最基本的集合與映射、極限，再進入連續函數微分及逆運算，這些都算作必須掌握的基本概念和數學技巧，相當於為後面鋪墊。然後進入了Taylor展開和Riemann積分，後面就到了積分和級數。我們可以看到整個一本書是循序漸進，一步步鋪墊進行的，這就是梅老師對這些一大筐知識的體系的理解。老師們的教學目的和內容是一致的，但是上課進度有快有慢，上課內容順序不一，這都是老師們對知識有自己的體系理解。

所以，題主要是想做到讓所學的靈活起來，融會貫通，首先自己要對所學內容構建起自己的知識體系，然後你會發現，一塊塊看似不相干的內容間竟然存在如此多微妙的聯繫，那就順著這看似虛幻的靈光走下去，說不定解題的思路會愈發清晰。

要記住，數學題，都是形散而神不散。自己找到「神」的所在最為關鍵。這樣一來，相信題主也會理解得越來越深刻的，學數學也會越來越順暢。

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對我來說融會貫通(?˙ー˙?)

就是高數拋開做物理題！

然後會無可奈何又撿起高數書！

再拋開高數書解了幾個以前解不了的！

然後有一天：我想學習牛頓解天體運動

於是我無可奈何拿出高數下冊，相信我解出這個問題後，高數已經奈何不了我(?ω?)

所以：要不你先學物理，那樣對高數理解是很深刻的，一舉兩得啊，雖然比較困難。而且會發現那些亂七八糟高數題目會熟悉的跑到物理草稿紙上，解微分方程，偏微分方程，只要有強烈的需求，高數才會被融會貫通！

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學無捷徑，唯有熱愛

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毛遂自薦自己寫的高等數學專欄高等數學 - 隨筆分類 - iMath - 博客園，很多文章都是受國外優秀英文教材的啟示而寫的。

我打算把高等數學裡那些自己已經弄得的難點寫出來方便後來者，我盡量把那些知識點得輕鬆好懂、不再迷惑。另外也可以關注微信公眾號：高數變簡單

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自己數學太差，怕被噴，先匿名了。

我覺得所謂的「融會貫通」是這樣一種境界：當你考察一個數學對象的時候，你會覺得很自然。當然了，自然也是分層次的。這點陶哲軒在他的博客里提到過，不再贅述。為了達到一個覺得很自然的境界，必須要經歷的一步就是問「為什麼」。為什麼他要這麼定義？我一定要這麼定義嗎？不這麼定義的話，有沒有別的方法定義？這個定理為什麼重要？我知道了之後可以做什麼？這個定理的假設是必要的嗎？能不能把假設放鬆？如果不能的話，為什麼？這個定理的結論在更一般的空間里也成立嗎？不成立的話，是少了什麼條件？

諸如此類的問題，用來問自己是很有幫助的。但是這種幫助不一定是立刻見效的。但是有的時候不想通的話又會走大彎路。定義要精度，仔細思考，尤其是有些 quantifier. 之前知乎看到有個問題，極限的 定義就擺在那裡，還是想不通 到底是個實數還是一個「無窮小量」。我就不知道什麼叫「無窮小量」……

當然了自己想問題也要想對問題。有些階段，有些問題想了是沒什麼太大幫助的。比如剛學線性代數，你就不要去糾結什麼「矩陣的 trace 的本質是什麼」這種問題了。

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