PDE 中的先驗估計是什麼意思？

01-22

「先驗估計」中的「先驗」體現在哪裡？

這是個很聰明的想法，基於泛函分析中的弱收斂。

假設我們有一個方程（E），我們想證明：

方程（E）有解，且其解滿足某個估計（通常是某個Sobolev空間模的估計，比如能量估計就是H^s模有界，Schauder估計就是C^s模有界等）。

利用先驗估計的辦法，我們實際上只需證明：

如果方程（E）有解，則其解滿足所需的估計。

單純從邏輯上這當然講不通，你怎麼知道方程有解呢？這就是數學家的聰明之處了。做法是取一串方程（E_N）去逼近原方程（E），且每個（E_N）都必定有解；比如說取（E_N）為（E）的某個有限維（Galerkin）截斷，因而每個（E_N）可以轉化為ODE，所以（至少對短時間）必定有解。利用我們證明了的先驗估計（當然要對（E_N）進行，但多數時候（E）的先驗估計的證明可以原封不動地搬到（E_N）上去），就能得出所有（E_N）的解都滿足所需的估計，且這個估計對N是一致的。然後我們用泛函分析中的一條定理：

若序列{x_n}在某個空間中有界，則在適當條件下，{x_n}存在弱收斂的子列，且其弱極限依然有界。

於是我們得到了一個序列{f_n}，弱收斂於某個函數f，且每個f_n都是某個方程的解，這些方程在適當意義下收斂於（E）。通過取極限，我們立刻得到f是方程（E）的解，且f滿足所需的估計。

你可以看到這就是有界序列必有收斂子列的定理（先驗估計的作用在於保證所論的序列確實有界），只不過這裡的收斂是弱收斂而已。歷史上先驗估計概念的提出是在20世紀初，也恰好大致是泛函分析開始發展起來那段時間。

在不解方程的前提下對解（的性質，如光滑度）的估計。

同意上面諸神的觀點

做一個補充：先驗估計中的「先驗」（a priori）precisely就是康德哲學裡的「先驗」的意思，也就是說，the a priori knowledge is the knowledge which is valid prior to the practice of examining or acquiring it。所以，翻譯回PDE的語言中，a priori estimates就是不用解方程就能夠證明成立的estimates。

先驗就是「想當然」。

後驗就是「實踐是檢驗一切真理的標準」。

先驗的作用是，盡量地為估計加入知識和信息。

後驗的作用是，檢驗加入的知識和信息是否靠譜。

先假設這個方程有解，得出這個解在某類函數空間里的估計（如Shauder空間、Sobolev空間），再用這個空間的收斂性質可以證明解的存在性

我們已經知道了某PDE存在唯一弱解（真解）；我們使用數值方法求出它的近似解而非弱解（真解）；我們隊真解進行某些假定後討論近似解和真解之間的誤差；先驗誤差證明得到。