Solow Model（索羅模型）中為何要做k=K/(AL)這樣的變換？

01-22

Solow模型： $dot{K}=sK^alpha (AL)^{(1-alpha)}-dK, dot{A}/A=g, dot{L}/L=n$ . 解法是令 $k=K/AL$ , 得 $dot{k}=sk^alpha-(n+g+d)k$ . 令 $dot{k}=0$ . 得到steady state. 在合適的參數條件下，可以得到這個穩態解是globally asymptotic stable.
我想問對於這種微分方程組，我該怎麼知道最終到底是哪個變數趨於穩態呢？比如上個例子中我就不能令 $dot{K}=0$ . 有什麼介紹這方面內容的參考書嗎？

這是個好問題。遺憾的是一般教科書對這個探討的不夠。

有兩類微分方程，一類是time homogeneous, 形式是，

$dot{x}=fleft(x ight)$

一類是time nonhomogeneous，形式是，

$dot{x}=fleft(x,t ight)$

看出來區別了么？區別就在於，決定 $dot{x}$ 的，到底是只跟此時的位置(x)有關，還是跟位置、時間都有關係。

顯然time nonhomogeneous 要複雜、難以分析。為什麼呢？

因為此時的steady state $x^{*}$ 是一個關於時間的函數：所謂的"steady state" 是隨時間變化的。也就是說，此時實際上並不是"steady state"，因為 $x$ 永遠不能趨近這個steady state。通俗地說，這個steady state 一直在「跑」（在隨時間變化）， $x$ 永遠追不上。

（注意，steady state 定義是在這個位置上， $dot{x}=0$ 。顯然求解 $dot{x}=fleft(x^{*},t ight)=0$ 我們會得到某個 $x^{*}=gleft(t ight)$ 之類的解。）

回到題主的問題。Solow Model 顯然是time nonhomogenous。注意到 $A=A_0 exp(g t)$ , $L=L_0 exp(n t)$ 。代入Solow model 中，形式必然是一個time nonhomogeneous。此時你若令 $dot{K}=0$ ，求得的steady state $K^{*}$ 將是一個關於t 的函數。很不方便。

所以關鍵在於，要把time-nonhomogeneous 轉化為time-homogeneous方程討論。你看到 $k=K/AL$ 這樣的變換，就是在干這件事情。

最後，我們怎麼知道要做 $k=K/AL$ 這樣的變換？

這裡關鍵的假設是我們確信存在一個constant growth rate. 也就是說我們確信 $dot{K}/K$ 當 $t ightarrow infty$ 的極限是一個常數。

此時，可以令 $y=dot{K}/K$ ，我們得到：

$y=s (K/AL)^{1-alpha}- d = s k^{1-alpha} - d$

可見 $y$ 與 $k$ 之間存在一個一一對應的映射（這個映射不受時間影響）。這就是為什麼我們可以關注 $k=K/AL$ ，進而研究 $dot{k}/k$ 的原因。因為我們知道 $y$ 有一個asymptotic steady state，所以我們也確信 $k$ 也是這樣。

===update

我這裡換一種角度說明為什麼要選擇 $k=K/(AL)$ ，主要是因為solow model等式右邊是一個homogeneous function of degree 1 with respect to K and AL (注意這和time homogeneous 是兩個不相關的概念。下面簡稱HFOD1）。

$f(x,y)$ 是一個 HFOD1 的定義是：對於任意a, $f(a x,ay)=af(x,y)$ 。

可以證明下面兩個結論，

1) 此時 $f(x,y)=f_x(x,y)x+f_y(x,y)y$ ，其中 $f_x,f_y$ 是 $f$ 對x、y的偏導數。

2) $f_x(x,y),f_y(x,y)$ 是homogeneous function of degree 0，也就是 $f_x(a x,ay)=f_x(x,y)$ 。所以我們有 $f_x(x,y)=f_x(1,y/x)$ 。

現在考慮 $dot{x}=f(x,y)$ 這樣的方程。如果 $f$ 是HFOD1，且我們知道 $y=y_0exp(g_yt)$ ，那麼 $dot{x}=f_xx+f_yy$ ，所以 $dot{x}/x=f_x+f_yfrac{y}{x}$

我們定義 $z=frac{y}{x}$ 。則 $f_x(x,y)=f_x(1,z)$ ， $f_y(x,y)=f_y(1,z)$ 所以我們注意到，

$dot{z}/z=dot{y}/y-dot{x}/x=g_y-(f_x+f_yz)$

可見此時這就是一個time-homogeneous 方程了。因為右邊 $g_y$ 是一個常數，而 $f_x,f_y$ 都是關於 $z$ 的函數。時間的影響就被消除了。

可見，Solow model的等式右邊是一個關於K, AL 的HFOD1，這是這種model 簡單的原因。

如果沒有這些性質，一般來說把time nonhomogeneous 化作time-homogeneous 需要擴維。在Solow model 中，如果我們考慮的是關於(K,A,L)這個三維空間的方程，那麼這個方程是不explicitly含有t的，所以此時是time homogeneous。但是你會發現，此時用一般的分析steady state 的思路會失敗（此時在(K,A,L) 這個空間中的steady state 是（0，0，0）這個trivial 解）。在其中作梗的是就因為HFOD1的函數形式。所以你仍然需要考慮合適的變換。

我理解題主困惑的點在於我們憑什麼把steady state定義為這個而不定義為那個（比如Kdot=0）？這是不是隨意定義的？

我的答案是這不是隨意的。經濟增長中有幾個stylized facts叫做卡爾多事實，用模型來解釋這些facts是所有新古典增長理論的共同目的。其中之一就是人們發現各國人均資本的log值隨著時間呈一個平行線性上升關係。也就是說Kdot/K -Ldot/L在世界各國大致是相等的正值。把別的東西定義為steady state我覺得沒什麼不可以的，但那樣的steady state描述的就不是我們這個世界的現象了。

我不知道solow是怎麼想的，但是姑且猜測他認為這種人均增長率的相似性不好用規模經濟來解釋，因為世界各國的體量差得太多。這樣看就需要假設CRS的生產函數並引入一個外部的增長來解釋了。Solow認為這個增長源自世界各國共享的科技的穩定進步，即Adot/A=a，這個進步率帶來了Kdot/K - Ldot/L同樣以a的增長率增長。所以我們把steady state定義為kdot/k=0。

簡單來說，因為solow model里，At是外生變數，會一直以g的速度增加，如果不除以At的話，Kt會隨At的增加而一直增加，從而達不到steady state。Kt除以At就是為了除去趨勢，達到steady state。

換句話說，如果At不變的話（即At=A for all t），那除不除At都可以。同理對Lt也是一樣的道理。