費馬原理說光傳播光程為極值，那有沒有極大值的例子？

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費馬原理說光傳播光程為極值，那有沒有極大值的例子？

圖中藍色的曲線是一個橢圓，A、B兩點為橢圓的焦點，黑色的曲線代表實際的鏡面。按照橢圓的定義可以知道任何一條類似紅色的光路都會短於黑色的光路，但它們卻不滿足反射定律，因而作為唯一選擇的黑色光路的光程是極大值。

更多內容可以參考這一篇文章：獻給業餘數學之王：澄清對費馬原理的誤解

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關於費馬原理

對於一個力學系統，其狀態可以由廣義坐標和廣義速度確定。我們想從所有運動狀態中找出實際上的運動狀態，就自然而然有了這樣一種想法：一個運動狀態對應這一個量，只要這個量滿足條件，那麼這個運動狀態就是在現實中可以實現的。

對的，這個量就是作用量，它是拉格朗日函數的積分，而拉格朗日函數由廣義坐標、廣義速度和時間決定。而我們認為真實的運動滿足的條件就是作用量一階變分為零，而要滿足這個條件意味著歐拉-拉格朗日方程要成立。

以上，是經典力學中關於最小作用量原理的部分。而其實只要把廣義坐標廣義速度換成折射率和空間坐標，那麼他們乘積的積分，也就是光程就成了光學中的「作用量」，隨後就有了光程一階變分為零的假設。此時，如果我們假設折射率在整個空間是個常數，那麼光程一階變分為零的條件（對應於歐拉-拉格朗日方程）就成了光程對空間坐標的導數為零（如果折射率不是常數，那麼這個方程中還會有關於折射率的項）。

關於光的傳播

假設空間折射率是常數，那麼兩點之間光程最短的路徑是直線（段），而且這條直線同樣滿足光程一階變分為零這個條件。

但現在我們既然討論反射問題，那麼「光線必須經過鏡面」就是必須滿足的條件之一。

關於反射的問題

樓上給了一個鏡面z=x^3，這個鏡面長這個樣子：

由於樓上沒有給出其他條件，那麼我只能補充條件來作這個問題。

已知一個鏡面的形狀為z=x^3，求從（0,1）到（0,2）的傳播光路。

作為學渣，我先用Excel生成了（-1,5）範圍內步長為0.01的鏡面坐標，隨後計算出每一個點對應的光程。當然，我假設空間折射率為1.

紅線是鏡面的形狀，黑線是對應的光程。此時一階泛函的條件為零的條件是光程對坐標x的導數為零，那麼我就對黑線求導。

上面這條顯得有些奇葩的黑線就是光程對空間坐標求導所得的曲線，而紅十字所指的點就是（0,0），也就是樓上所說的「在一束光在原點處發生反射」。有趣的是，在1的右側還有另外一個點，這個點的橫坐標大概是1.04，可以驗證經過這個點的直線同樣滿足反射定律，也就是說在這個鏡面上，利用光程一階變分為零足以求出實際的光路。

關於「光程最小」和「作用量最小」

實際上在上面這一段我所說的是「一階變分為0」，不過值得區分的是，上面那個導數為零其實是一階變分為零的條件，而不是變分本身。

所謂光程最小，只不過是一種偷懶的說法。對於剛接觸光學的人可能大部分課本上的例子都滿足光程最小，比如說平面鏡反射。但人是很折騰的，總會想要找出各種反例，於是磨出了橢圓面、雙曲面、拋物面等等，證明極大值可以，鞍點可以。

但我們不止於此，接下來是把這些情況都囊括進一個合理的解釋。現在這個解釋就是光程一階變分為零。也許有一天我們會發現其實光程一階變分不為零也是可以的，那個時候我們會接著尋找下一個理論，它既包括變分為零的情況，也包括變分不為零的情況。

找出反例並不是最終目的，而是找到一種更全面的、準確的描繪方法。不過幸運的是，到目前為止，一切現象和我們的理論都是比較吻合的。

最後

以上全部內容均是建立在非常「經典」的框架下的討論，也就是既沒有考慮光的波動性，也沒有考慮光在反射界面上出現的各種隱失波位移等等微觀現象。我僅僅是討論利用「光程一階變分為零」這個「真`費馬原理」來解決幾何光學問題而已。

這要看你怎麼理解。就我而言，我不贊成Beloyd Pink的回答。

橢圓這個例子，實在是太經典了。任何一本大學的光學書，只要提到費馬原理極小值還是極大值這個事了，總是會提橢圓這個例子。說實話，我覺得這並不是一個一勞永逸的解釋。

如果你做一個三次函數的鏡面(z=x^3)，在一束光在原點處發生反射，那按照一般的理論這束光就既沒有走極小路徑，也沒有走極大路徑。難道費馬原理就不成立了？

肯定有人會說，只有那一條路徑的導數是零就可以。那問題又來了？導數是什麼？路徑的導數？關於誰的導數？如果你說是這條路徑的光程關於這個路徑的泛函關於位置的變分是零，那，難道光不應該走直線嗎？與其反射那一下，幹嘛不直接走直線呢？

光的基本理論應該是波動理論，麥克斯韋方程組。在取波長足夠短時，得到了幾何極限，獲得了幾何光學的方程，程函方程。費馬原理是從這個方程中得到的。但是怎麼用

迴轉拋物凹面鏡，內切於迴轉橢球面的凹球面鏡