請問泰勒級數與洛朗級數的不同？

01-22

已經知道洛朗級數是泰勒級數的延拓版。但是學習數物時候還是不甚明確其本意，希望大家能點下洛朗級數以及泰勒級數（複分析）

冪級數都是在其收斂半徑內使用。

在泰勒級數的收斂半徑內，泰勒級數就是其洛朗級數。作為冪級數，泰勒級數固然簡單，卻也限制太多，有時候有些區域（如上圖）展開成泰勒級數收斂半徑較小。這時候展開為洛朗級數往往是方便的。

舉個例子，欲將 $f(z) = frac{1}{1-z}$ ，表示為 $z$ 的冪級數。 $z=1$ 處的奇點嚴重製約了泰勒級數的收斂半徑： $f(z) = 1+z+z^2 + cdots, (|z| < 1)$ ，收斂半徑僅為1。若展開為洛朗級數， $f(z) = left{egin{array}{lr} {displaystyle sum_{n=1}^infty z^n}, quad |z| < 1; \ {displaystyle -sum_{n=2}^infty frac{1}{z^n}}, quad 1 < |z|. end{array} ight.$

定義域一下子大了好多。。。

當然在若考慮在 $z=1$ 處展開，泰勒級數直接掛掉，收斂半徑為0。而洛朗技術毫無壓力！

在物理意義上，一個函數的性質，除了解析部分外，是由其奇點的性質所決定的（比如考慮其留數）。泰勒級數無法研究奇點，更無法對奇點進行分類。在複數域 $mathbb C$ 上解析的函數稱為全純函數；一個函數在複數域 $mathbb C$ 上若僅有極點（pole）而沒有其他奇點時，稱為亞純函數。顯然亞純函數比全純函數的範圍更大。洛朗級數可方便的用於研究亞純函數，泰勒級數就不太好使。

學數學的同學能講的可能更多。

簡單地說在圓域中展開成泰勒級數，在環域中展開成洛朗級數。歡迎指正。也不知道題主在疑惑啥。。。

洛朗級數是泰勒級數的延拓版，或者更反過來說，泰勒級數是洛朗級數的特殊情況。

當洛朗級數所收斂的環域中沒有奇點時，環域的內邊界就發生了塌縮，「環」就變成了圓。

此時按照洛朗級數的定義，計算其負項次冪的係數時，計算 $frac{1}{2pi i} oint_{}^{} frac{f(xi )}{(xi -z)^{n+1} } dxi$ 這個積分

而被積函數在這個圓域中是解析的，閉合曲線積分為0，所有負項次冪的係數均為0

所以當洛朗級數所收斂的環域中沒有奇點時，洛朗級數也就隨著內邊界的塌縮，也「塌縮」成了泰勒級數