兩個任意正態分布隨機變數的平方和服從何種分布？

01-21

我知道，如果是兩個任意正態隨機變數之和，還是服從正態分布；如果是兩個標準正態隨機變數的平方和則是服從兩個自由度的卡方分布。但兩個任意正態隨機變數的平方和服從何種分布呢？現實中這種情況應該非常常見，我用Mathematica來計算一下，但並沒有給出答案。

方差不同的獨立零均值復高斯變數的模的平方和服從https://en.m.wikipedia.org/wiki/Generalized_chi-squared_distribution（廣義卡方分布）。

如果是實高斯變數，除非兩兩一組方差相同，否則可能沒有閉式結果。

來自：Chi-squared distribution

恐怕沒有閉式表達式……

碰巧遇到過這個問題。

結果大概是這樣的：

iid：是卡方分布，題主說的沒錯。其實也是，指數分布。

不是零均，方差相等，獨立：non-central chi-square distribution

零均，方差和相關性隨意：generalized chi-square distribution

非零均，方差和相關性隨意：真聰明，non-central generalized chi-square distribution

再說幾個相關的分布：

sqrt(x^2+y^2)，iid：著名的rayleigh distribution。（ @aztec1900 同為通信狗一定知道。）

上面情況，多個變數時，叫chi distribution。