波利亞罐子模型怎樣證明？

01-21

顯然n=1時成立。

如果第n-1次及之前取球時，取出白球的概率均為 $frac{a}{a+b}$

第n次取球時，共有 $a+b+(n-1)c$ 個球，對其中白球的數目進行枚舉，則概率為

$sum_{k=0}^{n-1}{C_{n-1}^{k}(frac{a}{a+b})^k(frac{b}{a+b})^{n-1-k}frac{a+kc}{a+b+(n-1)c}}$

$=frac{sum_{k=0}^{n-1}{C^k_{n-1}a^kb^{n-1-k}(a+kc)} }{(a+b)^{n-1}(a+b+(n-1)c)}$

$=frac{sum_{k=0}^{n-1}{C^k_{n-1}a^{k+1}b^{n-1-k}}+sum_{k=0}^{n-1}{kC^k_{n-1}a^kb^{n-1-k}c} }{(a+b)^{n-1}(a+b+(n-1)c)}$

$=frac{ab^{n-1}sum_{k=0}^{n-1}{C^k_{n-1}(ab^{-1})^k}+ab^{n-2}csum_{k=1}^{n-1}{(n-1)C^{k-1}_{n-2}(ab^{-1})^{k-1}} }{(a+b)^{n-1}(a+b+(n-1)c)}$

$=frac{ab^{n-1}(1+frac{a}{b})^{n-1}+(n-1)ab^{n-2}c(1+frac{a}{b})^{n-2} }{(a+b)^{n-1}(a+b+(n-1)c)}$

$=frac{a(a+b)^{n-1}+(n-1)ac(a+b)^{n-2} }{(a+b)^{n-1}(a+b+(n-1)c)}$

$=frac{a(a+b+(n-1)c)(a+b)^{n-2}}{(a+b)^{n-1}(a+b+(n-1)c)}$

$=frac{a }{a+b}$

由歸納法，命題得證。

用數學歸納法是比較嚴謹的思路，在此提供一個簡單的想法，如下:

當n=1時，明顯為p=a/(a+b)

當n=2時，即完成第一次從袋子中取球並放回後，接下來從袋中取球時，取得白球的概率為p=[a/(a+b)]×[(a+c)/(a+b+c)]+[b/(a+b)]×[a/(a+b+c)]=a/(a+b)，這說明，從概率結果上來看，第二次取球時的情形等價於原來袋子中僅有a個白球和b個黑球的結果，即和第一次取球時相同，同理，依第二次為基向下推第三次時可等價為依第一次為基推第二次的情形，從而，可知概率一直不變

如果從概率角度不好理解，可將上述換為期望，應該一目了然

以上

相比歸納法證明，在汪仁官的《概率論引論》的第31-32頁有更加簡潔和優美的證明方法，網上有電子書，很容易找到，題主可以去找來看一下。