方程兩邊約去一個高階小量，方程是否還相等？

01-21

方程兩邊同時約去為零的量，得到的「方程」是不對的，或者準確的說是不一定成立。
那麼，方程兩邊同時約去一個無窮小量，得到的方程是否還成立呢？

粗略地說，同階的才可以

籠統的說不改變方程結構的時候是近似解，

改變方程結構的時候不行。

分別稱為regular/singular perturbation

具體看asymptotic analysis

那得看你是數學家還是物理學家。

老是有人把無窮小看成一個數。對於dxdydz這樣的東西，看成微分形式會更自然一些。

方程兩邊不能同時約高階無窮小量，哪怕是同階的。但是同階的話可以刪掉一邊的一個無窮小量，比如方程f(x)+o(x)=g(x)+o(x)（x趨於0）可以化為f(x)=g(x)+o(x)（x趨於0）。在有無窮小量的方程裡面等號不是一般意義上的等號，而是極限意義下相等。

這是不對的

樓主你這個問題問的太籠統了，你的做法的合理性還要具體看你要解決的問題。從我們學力學的角度出發，流固耦合里一些方程的推導實際上就用到了量級分析的概念。但和樓主所提的方程兩端約去小量的概念稍稍有些不同的是，我們往往針對方程不同量級的量進行保留。比如考慮流體方程中的壓力項，可以認為壓力可以表示成為某種攝動展開，也就是p=P0+Dp+D2p+...，同理，如果考慮較小流速的情況下，流速也可以寫成類似的展開形式，即，u=0+Du+D2u+...其中D為某個小量。這樣，通過將p和u帶入NS方程中，我們可以得到關於D不同量級的項。通常的做法是講統一量級的項保留。實踐中，我們通常保留O(1), O(D)量級的項。這樣的做法實際上就是在D為小量的情況下對原來非線性的NS方程在某些場合下進行了線性化，便於問題的求解。

我覺得方程兩邊約去一個不為零的數，實際上是縮小解的範圍，去掉了一個不可能是解的數。所以不能輕易約去，因為當兩邊的小量都為零的時候，你約去的是一個解。

在極限情況下無窮小量不能約去。你仔細看看極限及相關概念就清楚了