這道聯想實習生的筆試題怎麼解？

01-21

原題記不太清楚了，大概是這麼個意思：鎮上有一個酒鬼，你在A,B,C三間酒吧能找到他的概率為90%，有一天你在A和B酒吧都沒有找到他，請問你在C酒吧能找到他的概率？
我感覺是90%，但是說不出為什麼，求大神解答…

用A、B、C分別表示該人出現在某酒吧的事件。然後根據題意我們可以合理地推理出，在該人已經確定出現在三間酒吧中的情況下，他出現在其中某一間酒吧的概率是等可能的。（之所以這麼說是因為題目沒有明確寫出酒鬼的偏好，所以就默認是等可能的）

把題設條件翻譯成數學語言就是：

$egin{align*} ext{已知}P(Acup Bcup C )=0.9 \ ext{且}P(A|Acup Bcup C)=P(B|Acup Bcup C)=P(C|Acup Bcup C)=frac{1}{3} \ ext{求}P(C|ar{A}cap ar{B}) \ end{align*}$

求解：

$egin{align*} P(Acup B)=P(Acup B|Acup Bcup C)*P(Acup Bcup C) \ qquadqquad =[P(A|Acup Bcup C)+P(B|Acup Bcup C)]*P(Acup Bcup C) \ qquadqquad =(frac{1}{3}+frac{1}{3})*0.9 \ qquadqquad =0.6 end{align*}$

$P(ar{C}|ar{A}cap ar{B})=frac{P(ar{A}cap ar{B}cap ar{C})}{P(ar{A}cap ar{B})}=frac{1-P(Acup Bcup C)}{1-P(Acup B)}=frac{1-0.9}{1-0.6}=frac{1}{4}$

$P(C|ar{A}cap ar{B})=1-P(ar{C}|ar{A}cap ar{B})=frac{3}{4}$

前面假設的在三個酒吧的概率相等是不準確的。你沒有任何理由做這個假設。

由於在A,B,C是互斥的，你只能說：

P(A) + P(B) +P(C) = 0.9

通過條件概率，你要算的是:

$P(C|非A非B) = frac{P(C)}{P(C)+P(非A非B非C)}=frac{P(C)}{P(C)+0.1}$

這裡 $非A$ 是A不發生的意思。

這個時候如果你給P(C)=0.3的假設的話就得到了3/4的答案。但問題是P(C)是一個滿足P(A) + P(B) +P(C) = 0.9的變數(random variable)，它可能是0到0.9中間的任何一個值(滿足某一個distribution)。由於P(C)是random variable,所以你需要求的是一個期望 $E_{P(C)}[frac{P(C)}{P(C)+0.1}]$ 。求這個期望之前要先知道P(C)的分布(distribution)，我們唯一的條件是P(A)+P(B)+P(C)=0.9，P(A),P(B),P(C)&>=0，所以類似於我們的限制條件是一個由點(0,0,0.9), (0,0.9,0),(0.9,0,0)構成的立體的平面上的一個三角形。我們能做的最合理的假設是這個三角形上每一個非常小的方塊是等概率的(舉個二維的例子，如果限制條件是P(A)+P(B)&<=0.9,P(A),P(B)&>=0，等概率的意思是：一個以(a1,b1)為中心,邊長為 $delta$ 的正方形和另一個以(a2,b2)為中心，邊長為 $delta$ 的正方形內發生的概率是相等的如果兩個小方形都在限制區域內).

這樣我們就可以通過求邊際分布(marginal distribution)來得到P(C)的分布，為了符號上方便，我現在都用A,B,C來代表P(A),P(B),P(C):

$frac{intint_{B+A=0.9-C, A,B,C>=0} 1 dBdA}{intintint_{A+B+C=0.9, A,B,C>=0} 1 dAdBdC} = frac{1}{0.1215} imes frac{1}{2}(0.9-C)^2$

這裡分子是C的邊際密度，分母部分是單位化.

然後求上面的那個期望：

$E_{C}[frac{C}{C+0.1}] = int_0^{0.9} frac{C}{C+0.1} imes frac{1}{0.1215} imes frac{1}{2}(0.9-C)^2 dC = 0.589$

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1. 多謝 @魏文斌指出計算上的錯誤。

2. 多次修改答案，希望更多人能夠理解算P(C)分布的這部分。

很簡單嘛。

假如你找他100次，那麼其中在A，B，C酒吧90次，沒找到10次。

題目相當於求100次里酒鬼在C酒吧的次數和酒鬼在C酒吧次數+10的比值。

這麼想就簡單了吧？

然而並沒有什麼卵用。

因為題目壓根就沒告訴你A，B，C酒吧裡面酒鬼流連次數的比值。

當然假如默認是相等的，那麼A30次，B30次，C30次

答案就是30/(30+10) = 3/4 = 75%

題主有一個必要的前提條件沒有說清楚，就是酒鬼出現在A，B，C三家酒館之間的概率是什麼關係？如果等概率的話就是樓上說的75%，不然就不能確定了。

為什麼不是50%，已知不在A，B。在不在C就是50%了呀！！前面90%不是誤導么？

我不知道此題何解

不過我有個問題想問各位大神。

我有個設想：如果酒鬼在A酒館，但找到酒鬼是有概率的，我沒有在A找到（酒鬼喝趴在桌子底下也不是沒可能，畢竟找到酒鬼只有90%的可能，還有10%是沒找到，但在A酒吧沒找到酒鬼並不代表酒鬼他不在A這個酒吧），雖然我沒在A找到酒鬼，但酒鬼確實在A，那麼我在C酒館找到酒鬼的概率是否為0呢？

假設三酒吧為事件abc，找到為結果1。

未出現在任何酒吧為事件D，找不到為結果2。

且酒鬼出現在abc三酒吧的概率相等。

那可知

事件a出現概率為0.3

事件b出現概率為0.3

事件c出現概率為0.3

事件D出現概率為0.1

鑒於酒鬼先生是一個人，且不會分身術，所以abcD事件不能同時發生。

那麼無其他條件時，直接去c酒吧找酒鬼，找到概率為0.3

已經找過ab,再去c，找到的概率為：當事件ab無法發生時c出現的概率。事件cD發生的概率比為 0.1：0.3=1/3。此時cD事件發生的合計概率為1。因此c在cD兩事件中出現的概率為3/4。結果2（找不到）發生的概率為1/4。

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當事件ab未發生時，導致cD出現的概率增大了。

應該是75%

10％

酒鬼在酒吧的幾率為0.9 則0.1不在酒吧

也就兩種情況：1今天酒鬼在喝酒且在c酒吧 2 今天酒鬼沒有在喝酒。

兩種情況擇50％

結合題目，他沒在A也不在C, 所以他沒喝酒的可能性為0.66666（大於0.5）

所以他沒喝酒，不在酒吧。

即0.1

感覺和大家都答案幾乎都不同啊？求指教。

0.9

酒鬼要麼在酒吧（0.9）要麼不在（0.1）

如果不在酒吧，則一定不能在酒吧找到酒鬼（0）

如果在酒吧，而酒鬼又一定不在AB酒吧，則酒鬼一定在C酒吧。

則在C酒吧找到酒鬼的概率為0.9

問題1.有一道選擇題，有ABC三個選項，其中只有一個是正確答案，在你完全不知道答案且無法通過推理得出答案的情況下，假如你選擇了A，此時告訴你C是錯誤的，你會不會改選B？

問題2.假設你有一萬張彩票，並且被告知這一萬張彩票中只有1張有獎，你隨機選擇一張，此時告訴你其餘的彩票中有9998張沒獎並把這些彩票挑出，你會不會改變起初的選擇而去選擇另外一張被留下的彩票？

問題3.鎮上有三間酒吧A.B.C，且有一個酒鬼，若該酒鬼不在家中，則一定會在三間其中一間酒吧酗酒，你在A,B,C三間酒吧能找到他的概率為90%，有一天你在A和B酒吧都沒有找到他，請問你在C酒吧能找到他的概率？

記得之前在知乎看過一個問題，抱歉忘了是誰的回答以及其下的評論，問題1.2就是他們所表述的大致意思，因為記不太清楚就大概寫了一下，還結合了 @匡世珉的回答，這樣的話，會不會感覺概率是90%？

另外反對說「題目沒有明確寫出酒鬼的偏好，所以就默認是等可能的」這種觀點，也許A，B兩間酒吧設施服務等不如C酒吧好，而酒鬼喜歡去C酒吧，只有在C酒吧滿客的情況下才會不得已去A或B酒吧呢。