如何理解分形的維度？

01-21

不能把分形圖案的維度視為二維嗎？

分形維度用的是Hausdorff維度[1]，我們平時說的是Lesbesgue維度[2]。這兩個定義是不同的。

具體定義有能力的話請看維基。

Lesbesgue維度定義在拓撲空間上，而Hausdorff維度定義在測度空間上。

後者可以看作定義了距離的拓撲空間，更特殊。

兩者都拓展了維度的定義，後者允許維度為非負實數，前者的維度仍是非負整數。

對於我們平時接觸的歐幾里德空間，兩個定義得出的維度都是我們熟悉的維度。

在分形集合上，他們經常不同。

比如康托集合，Lesbesgue維度是0，Hausdorff維度是ln2/ln3。

所以你完全可以說你的那個分形圖案維度是2。指明是哪個維度就行。

知道了是不同定義，那麼分形維度如何直觀理解，請看＠孫尉翔的博客。

[1] Hausdorff dimension

[2] Lebesgue covering dimension

配合專欄文章，說明一下：

平面上的填充曲線，其 Hausdorff 維度，根據定義，等於被填充的方塊的維度，等於 2。

Is the Fractal Dimension of a Space-Filling Curve in a Plane Always 2?

你們啊，總是把問題弄的複雜。很簡單的一回事，只是兩個概念用同一個詞語表述罷了。

分形的維度和平時所說的維度不是一個概念，只要知道這點就可以了。

下面解釋下分形的維度，分形的維度可以為分數。

定義是，一個（線段/圖案/立體）分形被放大a（a≠1）倍後，其佔有空間（長度/面積/體積）比原來增加了a^n倍，那麼這個分形的維度為n。

對於一個沒有分形結構的圖形來說，其n的值剛好是此結構的空間維度（比如一個三維物體在每個方向上被放大a倍，那麼其體積必然變為a^3倍）。

但是對於擁有無限細節的分形圖案來說，n可以不是整數。

比如下面這個雪花分形

如果將它放大3倍，其長度會增加4倍，那麼根據定義可知：3^n=4，所以其維度n=log3(4)=1.261

而我們平時所說的維度，在數學裡一般指空間擁有的兩兩垂直的方向的數量。只能是整數。

2011年的答案：

我曾經寫過一篇介紹（多圖殺貓）：http://wp.me/s1aPvF-43

裡面有一句話：請您用一段長度為無窮的線來塗滿一塊面積為零的形狀。

2015年：裡面的圖早就看不到了。湊合看吧。

說點花絮。

分形的維數是有嚴格定義的，最著名的是 $dim_H$ ，它是 Hausdorff 外測度從無窮大跳變到 0 的那一點。

但是這個維數儘管性質好（比如利普希茨不變性），但是太特么難算了。主要困難是算下界——因為計算 Hausdorff 外測度需要對無窮多種集合覆蓋進行討論，這很困難。

所以人們定義了兩個更好算的維數： $overlinedim_B$ 和 $underline{dim}_B$ ，它是用網格定義的：用邊長等於 $epsilon$ 的正方形網格覆蓋你的集合，需要的格子數記為 $N(epsilon)$ 的話，則：

$overline{dim}_B=underset{epsilon ightarrow 0}{overline{lim}} frac{log N(epsilon)}{log (1 / epsilon)}$

$underline{dim}_B=underset{epsilon ightarrow 0}{underline{lim}} frac{log N(epsilon)}{log (1 / epsilon)}$

對於任意的集來說， $dim_H le underline{dim}_B le overline{dim}_B$ ，而對於大多數「實用」的分形，都取等號。

如果想要更精確地度量集合的特徵，可以試試用 Dimension Print，它考慮了多個方向上的維度特性。

我用通俗的方法解釋一下吧

分形圖形的基本特徵是具有標度不變性。

即在使用不同的尺度下觀測分形圖形時所得到的結果是具有相似性的，分形圖形具有尺度上的對稱性。

這種特性表明，不同的尺度（大小）的同一種分形圖形之間具有某個共同的幾何參數，即這一參數是一個與尺度大小無關的不變數，這個量就是分形集合中的分數維。

但是通常幾何體的維度一般是整數維度，比如一條直線的維度是1，一個平面的維度是2，一個立方體的維度是3。這種維度的定義可以這樣理解：在平面中有一個邊長為a的正方形，那麼它的面積是a^2，如果將其邊長放大b倍，則新的正方形面積為(ab)^2，即在邊長放大b倍之後面積變為了b^2倍，佔據原先圖形b^2的面積；同樣的如果是在空間中有一個邊長為a的立方體，其邊長放大b倍後得到的新立方體，體積為原來的b^3倍，佔據相當於b^3個原先的立方體疊放在一起的空間。

照這樣的理解，如果在D維空間中有一個幾何體，把其每個方向的長度都放大b倍後，得到的新幾何體的「體積」放大的倍數為：

$N=b^{d}$

對上式稍作一下變換即可得到：

$D=log_{b}N =frac{lnN}{lnb}$

於是我們得到了一個「維度」的定義。

那麼對於分形圖形，具體舉個例子吧：

康托爾集合：

取一條線段，三等分後去掉中間一段，可以的到餘下的兩段；再對於這兩段，同樣地去掉中間的1/3，每一段又能餘下兩段，就成了一個四條線段組成的圖形，如此循環下去，無窮多次以後，最終能得到一個只由點組成的集合(到最後分得只剩下點了*^__^*)。

對於這樣的一個集合，若取如圖所示長度內的這樣一個點集的圖形，將它放大3倍以後，只能得到相當於兩個原來的圖形大小的新圖形，那麼這個分形的維度就是：

$D=log_{3}2 =frac{ln2}{ln3} =0.6309297cdot cdot cdot cdot$

其它分形圖形的維度也可由類似的方法得到。參考書目：《力學與理論力學》秦敢向守平編著

我們如何判斷事物處在一個空間里，最起碼的要求是縮放引起尺度變化，如果滾動滑鼠不引起縮放的話，證明我們看見的是投影。例如正方體在頂視圖始終是正方形。分維在於二維方向縮放不改變尺度，三維側視圖等同於普通平面，從而維度在2~3之間。

PBS NOVA曾經做過一個關於分形的科普片，叫做《尋找隱形的維度》，又形象又有趣，很適合我們這種非數學出身的人學習。附一個鏈接
尋找隱藏的維度(高清1280x720 中英雙字幕)

這個問題確實是一個好問題。

我先從一個例子開始說去，分形維數究竟是一個什麼樣的東西。這個例子就是Mandelbrot自己提出的英國海岸線可以無限長的例子。為什麼說英國海岸線可以無限長？就是當我們選擇用不同刻度的尺子去量海岸線的時候，海岸線的長度也就不一樣，因此，當我們選擇用更加精確的尺子去衡量海岸線的時候，長度就因此會變的更加長，所以這才會有分形理論的最經典的例子。而分形維數在這個例子當中的體現，就是你選擇的尺子的型號。

既然說到分形維數的理解，就不妨說多一點吧。如果說分形的維數是如何求解的，我個人推薦肯尼斯。法爾克內的分形著作。（《分形幾何。數學基礎及其應用》，《分形幾何中的技巧》）這兩本書從定義和各種等價方法上闡述的非常清楚如何求分形的維數，這裡我就不贅述了。

至於說到分形維數的理解，個人從這幾個角度出發：

1。分形維數的誕生，告訴了我們自然世界並不是簡單的歐幾里德維數空間，而是還有更大的非歐幾何。同時，有的人說分形幾何是自然界的幾何，也一定程度上說明了分形幾何的維數是一個衡量自然界的圖形的變化情況的標準。

2。分形維數實際上相當於是一個尺子的標記，而這個尺子的適用範圍比較廣，不僅僅是用來求長度。（個人從有關連分數和一些有關於方程的穩定性研究了解到，並且從英國海岸線求長度等例子中也有所體會）

3。分形維數另外一方面也是一個標準，就是說明這個幾何圖形的變化情況，同時也闡述圖形的複雜和粗糙成都。（比如說TED2010 Mandelbrot 自己在講座中提出的例子，比如說明1.13 和1.32維數下產生的分形山的區別，另外就是我們可以從Cantor三分集等經典例子中可以求解出分形維數，也就可以知道這個集合的趨勢是如何的。）

不知道自己說的是不是能讓你看明白，但是我個人推薦你看我上述提到的書和講座，希望你也能收穫匪淺。

其意義主要是給出一個度量來衡量分形能「填上」多少空間（因為分形通常是不可能佔據所有可能的點的），一個平面上能填得越「滿」維度就越高。

分形維度所謂豪斯多夫維度來源於一個數學公式的推廣這公式對普通幾何體計算的是整維度對周長表面積無限的分形不奏效是分數。

簡單的理解就是市場與大自然中的大部分結構都有一個相同的特點：該結構具有在無限空間中的相似性。比如從太空觀察海岸線再到走近看岸邊的礁石，兩者都具有某些方面的相似性。在市場中也有相似的結構，比如，無論在哪個時間周期觀察圖表都能發現其相似的結構，比爾定義為分形。其實沒有必要了解其背後非常複雜的物理及數學方面的原理。交易者只要在市場中發現其運作的規律來指導我們的交易就行了，這也是內容對過程的區別。

與非數學的理解完全不同所謂分形」維數」一般滿足以下條件

1滿足雙lipschitz不變性即集合維數在lipschitz映射下不變當然平移不變放大縮小不變線性映射不變

2 滿足平穩性即集合併的維數等於兩者維數的最大值

3 滿足兼容性即n維空間的球的維數等於n

4 滿足單調性即若A包含B 則A的維數不低於B

一般來說 box維數 Hausdorff維數還滿足可數穩定性即可數集並的Hausdorff維數等於集合維數的上確界（box維數不滿足）此外 Assouad維數 Packing維數也是數學中廣泛研究的維數往往最難計算的是Hausdorff維數和Hausdorff測度

普通人一個，我對周圍的人向他們表達四維的釋義很簡單（我知道這是片面的，可是我實在是沒辦法組織出來更通俗易懂的語言了……）。點，線，面。這是一二三維。然後緊接著就是體了。點是一維，線是二維，面是三維。因為我們觀察到的任何物體都是由光線折射在每一個面從而反射到我們眼睛裡面的，我們看到的只是這個物體的由無數個面反射到我們眼中，由大腦具體形象化的影像。可是我們不知道這個物體的背面是什麼！就像你看到一個美女的背影卻看不到她的正面一樣，三維只是給你一個你所能理解的畫面，四維則是給你了你看到的事物的所有……你能想像當你看到一個美女的背影時你同時看到了她的正面，她的心肝脾肺腎所有的形態么？