如何證明 π＞3.14？

01-21

要達到這樣的精度初等方法(手算)已經非常困難了,不過可以試一下.

先來看幾何解法,借一道高考題:

很多幾何解法,比如割圓術,歸根結底就是這個不等式.

令 $x=frac{pi}{n}$ 得 $sin frac{pi}{n}<frac{pi}{n}< an frac{pi}{n}$

取 $n=6 ext{等價割圓術正六邊形}$

$6sin frac{pi}{6}<pi<6 an frac{pi}{6}$

$3<pi <2 sqrt{3}$ 精確到一位有效數字

取 $n=12 ext{等價割圓術正十二邊形}$

$left. egin{aligned} 12 sin left(frac{pi }{12} ight)<pi <12 an left(frac{pi }{12} ight)\ 3 sqrt{6}-3 sqrt{2}<pi<24-12 sqrt{3}\ 3.10647<pi<3.216\ end{aligned} ight.$

其中 $frac{pi}{12}=frac{pi}{3}-frac{pi}{4}$ ,然後可以使用兩角差公式計算.

默認你背過幾個常用根式的三位有效數字.

$sqrt{2}> 1.414,sqrt{3}> 1.732,sqrt{5}> 2.236$

這樣精確到兩位有效數字了...

可想而知隨著n增大,估計會越來越精確.

那麼三位有效數字要n等於多少呢? 57.

57不是個好數字,要找個因數多的,比如60和64.

64的話...看上去簡單,連用6次半形公式就行.

但是半形公式有個開平方...手算開平方好像不是普通人都能會的.

60因數就不少,有兩條主要合成路線: $frac{pi}{60}=frac{pi}{10}-frac{pi}{12}=frac{pi}{12}-frac{pi}{15}$

以第一條為例: $frac{pi}{12}$ 上面知道了, $frac{pi}{10}$ 畫個等腰三角形然後相似,算得正弦正好是黃金分割的一半.

然後算了半天...發現取上面的根式四位近似值算出來只有3.137...精確值是3.14016...GG...

幾何法不行那就只有迭代法了...

比如高斯勒讓德迭代:

選取初值: $displaystyle a_{0}=1qquad b_{0}={frac {1}{sqrt {2}}}qquad t_{0}={frac {1}{4}}qquad p_{0}=1.!$

迭代公式:

$displaystyle {egin{aligned}a_{n+1}={frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\b_{n+1}={sqrt {a_{n}b_{n}}},\t_{n+1}=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2},\p_{n+1}=2p_{n}.end{aligned}}$

第一次迭代就能得到: $pi > 3.140$

再迭代一次就有: $pi > 3.14159264$

每迭代一次精度翻倍...是計算機上的主流π演算法之一(有個前提條件:內存多的用不完)

其原理Wiki說的很詳細了:Gauss-Legendre algorithm

有了微積分就簡單多了...

級數法我說一句,級數一時爽,余項火葬場...

算完證收斂,證完收斂還要估余項...一般你的級數收斂越快余項估計越欲仙欲死...

微積分方法就很多了,我不詳細說了...

Wiki也歸納整理了很多解法:Proof that 22/7 exceeds π

話說還有個魔幻的公式:Approximations to π Derived from Integrals with Nonnegative Integrands

$(-1)^ncdot(pi - p_n/q_n)=(|i|cdot2^j)^{-1} int_0^1 ig(x^l(1-x)^m(k+(i+k)x^2)ig)/(1+x^2); dx$

幾位答主提到了這個的特例:

$left. egin{aligned} frac{22}{7} - pi = int_{0}^{1}frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2},mathrm{d}x>0\ pi - frac{333}{106} = frac{1}{530}int_{0}^{1}frac{x^5(1-x)^6(197+462x^2)}{1+x^2},mathrm{d}x<0\ frac{355}{113} - pi = frac{1}{3164}int_{0}^{1}frac{(x^8(1-x)^8(25+816x^2)}{(1+x^2)}>0 end{aligned}<br /> ight.$

這個積分揭示了丟番圖逼近和有理積分的深刻聯繫

好像是近年來幾個數學工作者獨立發現的,相關論文我還在看,看懂的話可能會發專欄...

&>&>好像立了個Flag /(ㄒoㄒ)/~~

謝邀，本題是可以用初等方法解的

事實上，2003年東京大學高考考過這道題的，不過考試時間一道題只有25分鐘，所以只要求到3.05

原題翻譯：試證明，圓周率大於3.05（問1）

按照知乎中的本問題引申：試證明，圓周率大於3.14（問2）

積分做法也可以做，具體參見請證明3.141&<π&<3.142：放縮到這麼小的範圍——大阪大學2013年高考附加題第二題（純理科）

這裡我們換一個思路考慮圓的幾何定義，也就是割圓術來找到圓周率的範圍。

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對於問1來說，正十二邊形已經足夠

我們截取其中的一個小三角形 $OAB$

弧 $AB$ 的長度是 $2pi imesfrac{1}{12}=frac{pi}{6}$ ，內側的弦 $AB$ 的長度的話，根據餘弦定理是 $sqrt{1+1-sqrt3}$

所以有 $frac{pi}{6}>sqrt{1+1-sqrt3}$

$pi>6sqrt{2-sqrt3}>sqrt{72-36sqrt3}>sqrt{9.612}$

我們知道 $3.05^2=9.3025$

所以 $pi>3.05$

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對於問2來說

顯然十二邊形不夠我們計算到3.14。

我們知道如果割到 $n$ 邊形，根據第一問的演算法

有 $frac{2pi}{n}>sqrt{2-2cosfrac{2pi}{n}}$

也就是 $4pi^2>2n^2-2n^2cosfrac{2pi}{n}$

我們的目標是 $3.14$ ，所以我們的目標是找到一個 $n$ 使得

$2n^2-2n^2cosfrac{2pi}{n}>4 imes3.14^2$

也就是證明 $n^2(1-cosfrac{2pi}{n})>19.7192$

由於在筆算的時候，計算方便的只有半形公式。（筆算開方即可，日本教材內會講，國內要不要求就不知道了）

開 2 次方可以手算，但開 n(n&>2，n∈Z) 次方有手算的方法嗎？

所以考慮內接正 $64$ 邊形。

$n^2(1-cosfrac{2pi}{n})=64^2(1-cosfrac{pi}{32})$

根據半形公式， $sqrt{frac{cos2x+1}{2}}=cosx$

由於 $cosfrac{pi}{4}=frac{sqrt2}{2}$ ，所以 $cosfrac{pi}{8}=sqrt{frac{2+sqrt2}{4}}<sqrt{0.85356}<0.92389$

同理 $cosfrac{pi}{16}<sqrt{0.961945}<0.980788$ ，同理 $cosfrac{pi}{32}<0.9951855$

所以 $n^2(1-cosfrac{2pi}{n})>64^2*0.0048145>19.72$

也就是 $2n^2(1-cosfrac{2pi}{n})>4 imes3.14^2$ ，又根據 $4pi^2>2(1-2n^2cosfrac{2pi}{n})$

所以 $pi^2>3.14^2$ ，所以 $pi>3.14$ 得證

總共需要手算開平方三次……不過至少是能夠筆算的……細心一點的話

更新：2018.1.12

補一個另外的積分做法

$int_0^1frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}dx<int_0^1frac{x^4(1-x)^4}{1}dx$

所以 $frac{22}{7}-pi<frac{1}{630}$

$pi>frac{3959}{1260}approx3.141269$

得證

$frac{1}{pi}=frac{2sqrt{2}}{9801}sum_{k=0}^{infty}{frac{left( 4k! ight)left( 1103+26390k ight)}{left( k! ight)^4cdot396^{4k}}}$

拉馬努金的著名級數，來自東方神秘國家——印度——的女神託夢……

你肯定會說，卧槽這麼變態的式子難道你還讓我去求前 $n$ 項和再做估計？！

答—— 你太低估這個式子的能力了！區區前三位，僅僅 $k=0$ 這第一項就足以得出結論了：

實際上，如果你用更精確的根號2的值，第一項就可以一竿子捅到 $3.1415927ldots$ ，直接深入小數點後六位，插入的有效數字達到七位了吧？

年輕人，你渴望力量嗎？騷年，你渴望女神嗎？

——這就是印度女神的力量（大霧～）！

附錄：如果你對印度女神的法力有所懷疑，請參考人類的證明（致謝）——

rainbow zyop：拉馬努金圓周率公式的原理是什麼？

感謝評論區（@平方、@triwindy 、@Wiener ES 、 a class="member_mention" href="/people/www.zhihu.com" data-hash="d89d89a4d6e2ac284519a7d21b7f885f">@1934 ）指出此級數是從上界對 $pi$ 的逼近，因此對余項進行估計是必需的。所幸，這個級數雖然數字較為複雜，但牽涉到的函數相對初等，故存在以下的簡明估計，能夠滿足題目的要求——

觀察無窮級數部分，可約去一個 $k!$ 的因子，再將首項置於求和號外，得余項為—— $sum_{k=1}^{infty}{frac{4 left( 1103+26390k ight)}{left( k! ight)^3cdot396^{4k}}}$ ，以簡單的形式將其放大，得到估計式：

$sum_{k=1}^{infty}{frac{4 left( 1103+26390k ight)}{left( k! ight)^3cdot396^{4k}}}<sum_{k=1}^{infty}{frac{4cdot 26390 left( k+1 ight)}{396^{4k}}}=105560sum_{k=1}^{infty}{frac{k+1}{(396^4)^k}}$

$=105560sum_{k=1}^{infty}left( k+1 ight)q^{k}=dots$ ，其中 $q=frac{1}{396^4}$ 。

將其分作兩部——

$ldots=105560 left(egin{array} sum_{k=1}^{infty}{q^{k}} cdots cdots(1) \ + sum_{k=1}^{infty}kq^{k}cdots cdots(2) end{array} ight)$ 。

$(1)$ —— 顯然， $sum_{k=1}^{infty}{q^k}<4.1 imes10^{-11}$ 。

$(2)$ ——求 $sum_{k=1}^{infty}kq^k$ 需藉助其部分和公式 $S_{n}=frac{nq^{n+1}}{q-1} -frac{q^{n+1}}{{left(q-1 ight)^2}}+frac{q}{left(q-1 ight)^2}$ 【提示： $sum_{k=1}^{n}{kq^{k}}=sum_{i=1}^{n}sum_{k=i}^{n}{q^{k}}$ ，對右邊用等比級數求和公式】，將其取極限得到： $lim_{n ightarrowinfty}{S_{n}}=frac{q}{left(q-1 ight)^2}<4.1 imes10^{-11}$ 。

由此可見， $105560left( sum_{k=1}^{infty}{q^{k}} + sum_{k=1}^{infty}kq^{k} ight)<8.656 imes10^{-6}<10^{-5}$ ，從而 $frac{1}{pi}<frac{2sqrt{2}}{9801} imes1103+10^{-5}Rightarrowpi>3.141494037065023424036208514108418086331464982481497193028ldots \>3.14$

。

本答經余項估計的檢驗確認無誤，請放心使用。

$0<int^1_0frac{x^3(1-x)^6}{2(1+x^2)}dx=pi-frac{1759}{560}$

$pi>frac{1759}{560}approx3.14107>3.14$

任何求π的方法都能證明π&>3.14。出於支持國貨的目的，可以用最簡單也最經典的割圓術（忍法·割圓術？），不斷倍增圓內接正多邊形的邊數，用多邊形周長和圓直徑的比值來逼近π。易證：隨著邊數的增加，近似π值單調遞增且收斂於π。

可以自己列個不等式解一下，如果用正n邊形近似計算π值，事實上當n&>56時結果會大於3.14。

用Maclaurin級數算arcsin(1/2)＝π/6吧，每一項都是正的還收斂快。以下回答作廢。

小朋友們都學過三角函數吧？那一定記得tan(π/4)＝1。這意味著arctan(1)＝π/4，然後把這個數乘以4就得到π了。可是怎麼算反正切呢？對了！用無窮冪級數！那麼咱們對arctan進行Maclaurin展開。聰明的小朋友應該記得d/dx arctan(x)＝(x^2＋1)^－1。可是Maclaurin展開需要很多階導數呢，再往下求導好像不好算了，怎麼辦呢？其實咱們把(x^2＋1)^－1給分解一下，就是i/(2(x＋i))－i/(2(x－i))，這樣就好求導了。(x^2＋1)^－1在放屁面上的奇點是±i，所以arctan的Maclaurin級數收斂半徑是1，而咱們要算的剛好就是arctan(1)呢！現在有了arctan(x)的Maclaurin級數∑{n∈Z, n≥0}((－1)^n*x^(2n＋1)/(2n＋1))，只要把x＝1代進去一直加加加，加到超過0.785就知道π大於3.14了。簡單吧？

考慮一下Wallis公式推導

通過 $int_{0}^{frac{pi}{2}}sin^{2n+1}xdx precint_{0}^{frac{pi}{2}}sin^{2n}xdxprecint_{0}^{frac{pi}{2}}sin^{2n-1}xdx$

得到 $frac{pi}{2}succ left[ frac{2n!!}{(2n-1)!!} ight]^{2}frac{1}{2n+1}$

取個值

應該就okay了

本屌瞎寫的

$zeta(4)=frac{pi^4}{90}=sum_1^inftyfrac{1}{n^4} >sum_1^mfrac{1}{n^4}+int_{m+1}^inftyfrac{dx}{x^4}$

$pi>sqrt[4]{90left(sum_1^mfrac{1}{n^4}+frac{1}{3(m+1)^3}<br /> ight)}$

利用Euler-Macraurin公式應該能估計得更好。

想到一個，收斂不快不慢，

畫個 $3 imes3$ 的網格，做個等腰直角三角形，可以得 $frac{pi}{4}= an^{-1}frac{1}{2}+ an^{-1}frac{1}{3}$ ，由泰勒展開，在 $xin[0,1)$ 內 $an^{-1}x>x-x^3/3+x^5/5-x^7/7$ ，代入得

$an^{-1}(1/2)>(1/2)-(1/2)^3/3+(1/2)^5/5-(1/2)^7/7=647/1396$

$an^{-1}(1/3)>(1/3)-(1/3)^3/3+(1/3)^5/5-(1/3)^7/7=435/1352$

$frac{pi}{4}= an^{-1}frac{1}{2}+ an^{-1}frac{1}{3}>2124/2705approx0.785212$

故 $pi>0.785212 imes4=3.140848>3.14$

補充

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查閱資料發現已經有了???類似得演算法梅欽類公式

其基本形式為

$c_0 imespi/4=sum_{n=1}^{N}c_n an^{-1}(a_n/b_n)$

wiki上給出得是

$frac{pi}{4}=4 an^{-1}frac{1}{5}- an^{-1}frac{1}{239}$

然後反覆結合反正切函數的泰勒級數展開計算得到

割圓術。

半徑為1的圓，將圓周角平分為n分，則內接正n邊形的面積S=nsin(2π/n)/2＜π。

取n=120，此時2π/n=3°。半形公式可以求出，sin15°和cos15°。由頂角36°的等腰三角形，可以求出sin18°和cos18°。

sin3°=sin(18°-15°)=sin18°cos15°-cos18°sin15°。

cos15°和sin18°舍位取值，sin15°和cos18°進位取值，sin18°≈0.3090169，cos15°≈0.9659258，sin15°≈0.2588191，cos18°≈0.9510566，則sin3°＞0.3090169x0.9659258-0.2588191x0.9510566=0.052335783084258。

π＞60sin3°＞3.1401469850976＞3.14。

利用級數∑1/n2=π2/6(抱歉手機不好打公式)。

由於1/n2&>0恆成立，故π2應大於6/n2的任意有限次求和。而3.142=9.8596，因此只要找到求和到第幾項這個求和大於9.8596就能夠證明。

這個級數收斂的很慢，手算幾乎不可能。用mathematica計算髮現正好求和至第600項超過9.8596。

當你試圖用一個3.14d的線圍住一個直徑為d的圓，發現短一截。

這是2012年流行的腦殘釣魚文啊！！！！

重要的事先說三遍.jpg

信這玩意兒的，你就被坑了……

答主只是單純的批判一下釣魚文，抖個機靈而已。同時期流行的還有什麼「高鐵影響中國地層」，「烏蘭巴託大海戰」等等……

……答主不是來釣魚的啊！！答主只是複製粘貼一下啊！！

不好意思給大家造成了困擾嗯。

對不起。

（鞠躬快速逃。

以下為原答案：

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據百度可知，圓周率π=4。

而顯然，π＝4＞3.14。

證畢。

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「我們的教科書真實率低於5%，連數學也不例外，年輕人要敢於懷疑。越是從小學習，看起來理所當然的知識越值得懷疑。圓周率等於……」

1968年冬天，在刺骨的寒風中，數學教授吳駕翔凜然站在後海的岸邊，最後一句尚未說完，便被瘋狂的紅衛兵掛上石頭沉入了後海。

在我們的少年時代，有很多人都有這樣的經歷，因為圓周率3.14這樣一個詭異數值無法心算，去列複雜的豎乘式而耽誤時間。很多人因此算錯乘積，點錯小數點，遭到父母的責打，乃至與夢中的重點中學、大學失之交臂。

可又有多少人知道，我們所使用的圓周率，無限不循環小數3.14159…並不是真實的值，而是為了禁槍的目的而刻意修改的。

真實的圓周率等於4，在中國卻是絕密。

圓周率最早是古埃及人用「割圓法」得到的。在直徑為1的圓外作一個邊長為1的外切正方形，這個正方形的周長等於4。然後將正方形的四個角向內折，使直角的頂點接觸圓的邊，這時，這個粗十字形的周長仍然為4。進一步將這個粗十字形的所有向外突出的90度角向內折，使直角的頂點接觸圓的邊，形成的齒輪狀多邊形的周長仍然等於4。這樣無限折下去，最後形成一個帶有無數鋸齒、無限緊套圓形的齒輪形，周長仍然等於4。

所以，一個直徑為1的圓周長等於4，即圓周率等於4。

其實，讓我們拋卻荊棘叢生的數學推導，摒棄一葉障目的機械思維，帶著對宇宙萬物的人文關懷，從哲學的角度思考自然規律的本質。我們不難發現，圓是世界上最簡潔的形狀，任何辭彙都難以形容它的樸素。作為圓周率，註定只有乾淨純粹、不帶任何雜質的自然數，才配得上圓的純凈。沒有繁花似錦，只有舉重若輕的一抹純色，如同普羅旺斯一望無際的淡紫，香格里拉歷經千年不化的雪白。

沒有無理數，沒有無限的不循環，圓周率註定只是簡簡單單的一個4。

從古到今，幾乎所有國家的數學書上圓周率的值都是4。

1949年新中國成立後，在推行禁槍的同時，所有數學課本上的圓周率改為了3.14159…近似為3.14，並被故弄玄虛地描述成一個難以認知、難以記憶的無限不循環小數。同時，所有民國時期的數學課本均被銷毀。這樣做的真實目的，是為了防止有人利用圓周率計算管狀物體的用料，成功造出槍管和炮管，給政權帶來不穩定。

人為改小圓周率的值，可以讓利用錯誤的圓周率算出的槍管周長偏小，用料偏少，造成槍管偏薄，和子彈卡在槍管里炸膛等情況，使造槍者自動傷亡，促進民間槍支的消失。

1973年，民間造槍愛好者，中科院某研究所鉗工車間職工王克利在用自造的手槍射擊時，發生炸膛事故而死亡。60多年間，更多類似的事件數不勝數，卻理所當然地永遠不可能見諸報端。

與之相反，在美國等國家，民眾不但擁有擁槍的自由，憲法還賦予了公民使用武器對抗和諧的權力，因此，和諧從不把圓周率的真實數值當作絕密，而是坦然教授給民眾。

對圓周率被如此大規模改成錯誤的數值，大多數中國人選擇了失憶和沉默，只有一個人站了出來。

吳駕翔，1909年2月11日生於廣州，1928-1936年就讀於南京國立中央大學數學系。年少時即表現出天才般的數學造詣，其博士論文《實數在（e^11.9223，e^11.9232）區間的非線性加性》引起國內外數學界的震驚。吳與同一時期在清華大學暫露頭角的華羅庚一起被認為是中國數學界的兩大青年才俊，並稱「南吳北華」。兩人成為惺惺相惜的摯友。建國後，華羅庚內斂、現實的性格使他在歷次運動中採取了隨波逐流、明哲保身的無奈態度。而吳駕翔固執地遵循著在民國故都接受的道德教化，使他保留了堅持真理、敢怒敢言、不向任何威權妥協的君子遺風。

50年代末，吳駕翔無法接受所有數學課本上的圓周率從4被改為3.14的做法，堅持傳授和使用圓周率的真實值，在反右運動中被打倒。同樣在歷經打擊後，華羅庚忍辱負重，違心地附和「數學要為工農兵的實際生產服務」，並多次暗示吳妥協，「留得青山在」，吳駕翔卻毫不動搖，繼續堅持著圓周率等於4。最後，在文革中，不明真相的紅衛兵被煽動起來，將吳駕翔插上「***學術異端」的牌子，遊街批鬥後沉塘。在掛上了石頭，被推下後海的最後一刻，吳駕翔面對已經失去理智的紅衛兵，仍然從容地說：

「我們的教科書真實率低於5%，連數學也不例外，你們年輕人要敢於懷疑。越是從小學習，看起來理所當然的知識越值得懷疑。越早讓你們學，越是有人迫切地希望你們在沒有辨別能力的時候學進去。因為你們大了就不那麼好騙了。真實的圓周率，就是等於4。」

在一片「打倒***瘋子吳駕翔！」的喊聲中，吳駕翔被扔進了水中。

在那個人人自危的年代，華羅庚強忍著心中的悲痛，一直不敢公開表達對吳駕翔的悼念之情。

1978年吳駕翔被平反，華羅庚第一個來到吳的墓前。他的眼淚像斷了線的珠子一樣不停地流，「駕翔兄，我來晚了……」

吳駕翔之後，中國再沒有人敢公開支持圓周率等於4。後來也曾有民間團體將圓形、折線和4的元素整合到徽標上，希望籍此暗語提醒世人「圓周率通過折線割圓法證得等於4」的事實。甚至通過自殘等乖張怪異的舉動吸引注意，未料無人知其苦心，意圖卻被官方首先識破，不得不流落異鄉。從此，圓周率的真實值也就漸漸不為人知了。