利普希茨連續的幾何意義是什麼？怎麼較好的理解它呢？

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優化問題常用到利普希茨連續條件，但是自己一直不能理解它，生搬用套的搬定義公式很傷啊。

以陸地為例。

島嶼：不連續

一般陸地：連續

丘陵：李普希茲連續

懸崖：非李普希茲連續

山包：可導

平原：線性

半島：非凸

想了半天用什麼來表達亞連續（semi-continuity），好像只能用瀑布了

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稍微具體點的話，李普希茲連續就是說，一塊地不僅沒有河流什麼的玩意兒阻隔，而且這塊地上沒有特別陡的坡。其中最陡的地方有多陡呢？這就是所謂的李普希茲常數。

懸崖的出現導致最陡的地方有「無窮陡」，所以不是李普希茲連續。

維基百科上的圖。

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Lipschitz連續蘊涵絕對連續，絕對連續蘊涵一致連續。函數一致連續_絕對連續_李普希茲連續的統一定義_圖文_百度文庫。所以總體來說，Lipschitz連續的函數是比連續函數較更加「光滑」，但不一定是處處光滑的，比如 $|x|$ .但不光滑的點不多，放在一起是一個零測集，所以他是幾乎處處的光滑的。

定義：Lipschitz連續，要求函數圖像的曲線上任意兩點連線的斜率一致有界，就是任意的斜率都小於同一個常數，這個常數就是Lipschitz常數。

從局部看：我們可以取兩個充分接近的點，如果這個時候斜率的極限存在的話，這個斜率的極限就是這個點的導數。也就是說函數可導，又是Lipschitz連續，那麼導數有界。反過來，如果可導函數，導數有界，可以推出函數Lipschitz連續。
從整體看：Lipschitz連續要求函數在無限的區間上不能有超過線性的增長，所以 $x^2,e^x$ 這些函數在無限區間上不是Lipschitz連續的。