功率譜密度如何理解？

01-21

一個隨機的波，我們可以進行時域分析，也可以頻域分析，有時也要看功率譜密度，這個功率譜密度如何理解？

一、信號分析里的這些名詞都是怎麼來的？

　　對於任意的時間信號 x(t) ，這個信號可以是任意隨時間變化的物理量，在對信號進行能量分析時，不加區分地將其視為施加在阻值是單位電阻，即 R = 1Ω 的電阻上的電流。基於此，這個單位電阻的能量屬性，就視為這個信號的能量屬性。

　　所以，信號的總能量 W 就是：

$W=lim_{T ightarrowinfty}int_{-T}^{T}I^2R{ m d}t=lim_{T ightarrowinfty}int_{-T}^{T}x^2(t){ m d}t$

　　同時，能量也可以在頻域表示：

$W=frac{1}{2pi}int_{-infty}^{infty}|X(omega)|^2{ m d}omega,X(omega)=int_{-infty}^{+infty}x(t){ m e}^{-{ m j}{omega}t}{ m d}t$

　　相應地，信號的平均功率 P 就是：

$P=lim_{T ightarrowinfty}frac{1}{2T}int_{-T}^{T}x^2(t){ m d}t$

　　當然，對不同的信號，上面兩個定義中的極限並不一定存在，由此可以區分能量信號和功率信號。也就是說，第一個極限存在，即稱為 能量信號，若第二個極限存在，則稱為 功率信號。應該記住的一點是，一個信號可以既不是能量信號，也不是功率信號，但不可能既是能量信號，又是功率信號。

二、什麼是譜密度？

　　如果信號是 能量信號，通過傅里葉變換，就很容易分離不同頻域分量所對應的能量，頻率 ω 對應的能量為: dW = |X(ω)|2d(ω/2π)，對 ω 積分就能得到信號的總能量，由此， |X(ω)|2 就定義為 能量譜密度，也常簡稱為 能量譜，意為能量在某一頻率上的分布集度或，量綱是 [U]2·sec/Hz 或 [U]2·sec/(rad/sec)，[U] 是 x(t) 的量綱。

　　如果信號是 功率信號，情況就稍微複雜一些了。這裡先選取一個 周期功率信號，這個是十分容易的，一個有限長時間的信號進行周期延拓就可以得到了。

　　周期信號在時間上無始無終，能量必然是無限的，但功率可能是有限的。對信號進行傅里葉展開，可以寫成：

$x(t)=sum_{n=1}^{infty}A_nsin(nvarOmega_0t+varphi_n), varOmega_0=frac{2pi}{T_0}$

　　或表示為復指數形式。

$x(t)=sum_{n=-infty}^{+infty}c_n{ m e}^{{ m j}nvarOmega_0t}$

　　周期信號的平均功率只需要取一個周期進行能量平均即可得到，也即：

$P=frac{1}{T_0}int_{0}^{T_0}x^2(t){ m d}t=frac{1}{T_0}int_{0}^{T_0}[sum_{n=1}^{infty}A_nsin(nvarOmega_0t+varphi_n)]^2{ m d}t$

　　或：

$P=frac{1}{T_0}int_{0}^{T_0}(sum_{n=-infty}^{+infty}c_n{ m e}^{{ m j}nvarOmega_0t})^2{ m d}t$

　　利用二項式展開以及三角函數系的正交性，不難化簡上式：

$P=sum_{n=1}^{infty}(A_n^2/2)=sum_{n=1}^{infty}P_n$

　　或

$P=sum_{n=-infty}^{+infty}(|c_n|^2/2)=sum_{n=-infty}^{+infty}P^*_n$

　　An 是周期信號中頻率為 nΩ? 的諧波分量的幅值，Pn = An2/2 是頻率為 nΩ? 的諧波分量的功率。所以結論就是：周期信號的平均功率等於各諧波分量幅值的平方和。容易理解，周期信號的功率是離散地分布在頻率為基頻 Ω? 整數倍的諧波分量上的。

　　如果以頻率為橫坐標，功率 Pn 為縱坐標，就可以得到功率隨頻率的分布。容易觀察到，周期信號的功率譜頻率分布是離散的，等間隔的，間隔長度就是基頻 Ω? = 2π/T? ，如果將 Pn 在區間 [nΩ?, (n+1)Ω?] 平均化為 Pn/Ω? ，就可以得到一條頻率連續的分布曲線 G(ω) ，其意義就是頻率 ω 上的功率密度，也就是所謂的 功率譜密度，量綱是 [U]2/Hz。功率譜密度曲線的對頻率積分就等於平均功率 P，即：

$P=int_{0}^{+infty}G(omega){ m d}omega$

　　實際上，如果引入衝擊函數 δ(·)，功率對頻率微分也可得到周期信號的功率譜密度，功率譜密度在基頻整數倍為脈衝形式，即 G(ω) = ΣPnδ(ω-nΩ?)，同樣滿足功率譜密度的積分就等於平均功率 P。

　　以三角函數對功率展開, 幅值 An 為實數，n 僅取正值，功率譜密度 G(ω) 為單邊功率譜，如果以復指函數形式對功率展開，係數 Cn 為複數，而 n 取全體整數，功率譜密度 S(ω) 為雙邊功率譜，二者關係為：An = 2|Cn| = 2|C?n|，G(ω) = 2S(ω)。

　　下面考慮 非周期功率信號，這類信號也非常常見，如平穩隨機過程。

　　非周期信號可以用周期信號的思路來推廣，相當於周期信號中的周期 T? → ∞ 。

　　周期趨近於無窮意味著基頻（離散諧波的頻率分布間隔） Ω? → 0 ，離散的諧波功率譜線趨於連續。同時，傅里葉係數 An 也趨於 0，也就是說，在諧波功率譜線的圖形中，所有頻率的譜值 Pn 都是無窮小，注意到，功率譜的頻率密度 G(ω) = Pn/Ω? 卻為有限值，可以用於描述功率的頻率分布。

　　通過對信號的截斷也容易理解非周期信號的功率譜密度。功率信號 x(t) 無法直接進行傅里葉變換，但通過對信號截斷，則截斷後的 [-T, T] 上有限時長的信號 x?(t)則為能量信號，可進行傅里葉變換，得到截斷信號 x?(t) 能量的頻率表示 |X?(ω)|2。隨著截斷時間 2T 趨於無窮，截斷信號 x?(t) 逼近功率信號 x(t)，能量譜密度 |X?(ω)|2 趨於無窮，而其時間平均則為有限值，也即功率譜密度 G(ω) = lim(1/2T)|X?(ω)|2 。

在頻譜分析中幅度和功率是由緊密聯繫的兩個不同的物理量：能量能表述為幅值的平方和，也能表述為功率在時間上的積分；

功率譜密度，是指用密度的概念表示信號功率在各頻率點的分布情況，是對隨機變數均方值的量度，是單位頻率的平均功率量綱；也就是說，對功率譜在頻域上積分就可以得到信號的平均功率，而不是能量。能量譜密度是單位頻率的幅值平方和量綱，能量譜密度曲線下面的面積才是這個信號的總能量。

於是，功率譜、能量譜、幅值譜之間的緊密關係主要表述為：

能量譜是功率譜密度函數在相位上的卷積，也是幅值譜密度函數的平方在頻率上的積分；

功率譜是信號自相關函數的傅里葉變換，能量譜是信號本身傅立葉變換幅度的平方