概率密度函數在某一點的值有什麼意義？

01-21

能說一說概率密度函數發展的歷史就更好了。

把概率理解為質量，質量等於體積乘密度，那麼類似，概率等於區間乘概率密度。那麼物體某一點的密度該如何理解呢？某一點的概率密度同此理解。

這麼說吧，一個物體，問你它在某一個點處的質量是多少？因為一個點是無限小的，所以點的質量一定為0。然而這個物體是由無數個點組成的，假如我們又需要求它質量，怎麼辦呢？於是引入密度的概念 $ho=lim_{V ightarrow 0}{frac{△m}{△V}}$ ,最後再把密度積分就可以得到質量m了。

同理，如果在[0，1]上隨機取點，求取在某一點處的概率，點的長度無限小，此概率一定為0。這時情況和上面所述類似，我們需要引入概率密度p，其中p= $lim_{x ightarrow 0}{frac{△p}{△x}}$ 。這樣我們就可以求所取點落在某一段(a,b)上的概率了。概率p= $int_{a}^{b}p(t)dt$ 。

總結:為什麼要叫概率密度，因為它和物理上密度的定義本質上是一樣的。我們做題的時候一般就兩種。一.告訴你概率密度函數，讓你求分布函數，積分就好了。二.告訴你分布函數，讓你求概率密度函數，求導就好了。

就像你做初中物理的密度題，無非兩種:一.告訴你物體的密度讓你求質量。二.告訴你物體的質量讓你求密度。

so......不要想得太複雜。就把概率密度函數當成我們物理裡面學的密度就好了。

=????=????(●???● |||)

落在寬為epsilon的小區間內的概率除以epsilon，在epsilon趨於0時的極限。

I think what @運算元 talk is smart but not enough,so i give my answers

In mathematics, a probability density function (pdf) represents a probability distribution in terms of integrals.

Formally, a probability distribution has density f if f is a non-negative Lebesgue-integrable function mathbb{R} omathbb{R} such that the probability of the interval [a, b] is given by

int_a^b f(x),dx

for any two numbers a and b. This implies that the total integral of f must be 1. Conversely, any non-negative Lebesgue-integrable function with total integral 1 is the probability density of a suitably defined probability distribution.

Intuitively, if a probability distribution has density f(x), then the infinitesimal interval [x, x + dx] has probability f(x) dx.

Informally, a probability density function can be seen as a "smoothed out" version of a histogram: if one empirically samples enough values of a continuous random variable, producing a histogram depicting relative frequencies of output ranges, then this histogram will resemble the random variable"s probability density, assuming that the output ranges are sufficiently narrow..

首先，某一點上的概率密度函數值並沒有多大的意義。但是從微分元的角度來說，概率密度函數 $f(x)$ 的值乘以微分元 $dx$ 可以得到小區間 $(x_{0} ,x_{0} +dx)$ 上的概率近似值。也就是說， $P(x<X<x+dx)approx f(x)$ 。

此外，像某答案所說的概率密度函數可以看成是直方圖的平滑近似。

a probability density function can be seen as a "smoothed out" version of a histogram: if one empirically samples enough values of a continuous random variable, producing a histogram depicting relative frequencies of output ranges, then this histogram will resemble the random variable"s probability density, assuming that the output ranges are sufficiently narrow..

作者：雨宮夏一

鏈接：概率密度函數在某一點的值有什麼意義？ - 雨宮夏一的回答 - 知乎

為了方便理解這裡直接貼茆詩松概率論與數理統計教程上的圖。從圖上看就更清晰了。

參考文獻：

茆詩松, 程依明, 濮曉龍. 概率論與數理統計教程 (第2版) [M]. 高等教育出版社, 2012.

隨機變數r的概率密度函數：

1. 單獨說，看r在一個可能值x 處的f（x）實際上根本不能反映出「r取 x」這個事件的任何信息

2. 但反過來看呢，整個概率密度函數才真正刻畫了r 取各可能值的概率分布，所以在某一點x的

f( x) 取那個值又是必然的

3. 那麼直接由f（x）到底能反映（或說做）些什麼呢？

是：由x領域內的f（x）積分可以確定這個鄰域所代表這個事件發生的概率

p.d.f是用來表徵連續分布的函數。p.d.f的目的其實是建立起Random Variable這個函數值域與定義域之間的關係。通俗地說，你想知道Random Variable某值域區間對應自變數區間所佔定義域比例。而p.d.f在某一自變數上的值就是你把一個RV函數值為該自變數的點的微小值域鄰域區間對應的定義域區間長度加起來除以值域小區間，然後求極限。如果這個RV是單調的，可以把p.d.f某自變數函數值理解成RV函數值為該自變數的點的切線斜率。直觀的理解，Random Variable某函數值微小值域鄰域區間，曲線越陡，對應自變數區間跨度越小，佔比越小，p.d.f函數值越小，曲線越平，自變數區間跨度越大，佔比越大，p.d.f函數值越大

書上說：由於改變概率密度在個別點的函數值不影響分布函數的取值，所以概率密度在個別點的函數值可以是隨意指定的有限值。

一維:線密度(線即x軸)

二維:面密度

三維:密度

四維及以上:演算法不一樣

?0.5 減去-0.5 得到該點概率，，，