扔一個六面的骰子，平均扔多少次能連續扔出三個相同的數字？

01-21

我問題沒描述的十分清楚所以稍微改一下
但是很多大神還是理解了並且給了答案這是一道隨機過程的題非常感謝各位回答

E1 = 1

E2 = E1 + 1/6 * 1 + 5/6 * E2 ==&> E2 = 7

E3 = E2 + 1/6 * 1 + 5/6 * E3 ==&> E3 = 43

一般地，扔一個k面的骰子，扔出連續n個任意數字所需的平均次數為 $sum_{i=1}^n k^{i-1}=frac{k^n-1}{k-1}$

這個問題感覺我好像回答過………………

UPDATE：

說明一下，我覺得「連續三個的任意數字」應該是指666這樣而不是123這樣吧……

後者應該叫「三個連續數字」才對。

相當於第一次扔之後一直默認是狀態1，1/6概率轉到狀態2，1/6概率成功，其他重置回狀態1，列出方程就是E0= 1 + E1，E2 = 1 + 5/6 E1，E1 = 1 + 1/6 E2 + 5/6 E1，解得E2=36，E1=42，E0=43，所以期望是43次，更多步驟或更多面骰子同理

11次

先簡化一下

我們來考慮連續扔三次骰子，出現連續三個數字的幾率P

連續共有24種可能性，總可能性 $6^3$ .

所以P=24/ $6^3$ =1/9

所以平均需要9次就有一次三個連續。

現在回到原問題，因為每次擲骰子都獨立，所以扔1、2、3次可以看做一次連續擲骰子三次，,第2、3、4次也可以看做一次連續擲骰子三次，一直到9、10、11次就相當於有第九次連續擲骰子三次。所以平均需要11次。

歪個樓，單算概率的話高票答主已經給了正確答案。但我看到題目的時候突然想起以前的統計學老師，一個很有趣的英國老頭。

他說他有讀心術，第一節課給了我們每人一顆四面骰，讓我們選擇拋骰子並在紙上記錄結果，或者假裝拋骰子（心裡模擬）並記錄結果。他通過結果判斷我們有沒有真的拋骰子。

全班20個人，除了我的那張他判斷失誤，其他的都對了。

我當時猜到他區分真實結果和模擬結果的依據可能是「真實結果更傾向出現連續情況，而模擬投擲人會下意識注意每個數字出現的平均概率。」所以寫結果的時候我刻意避免平均概率，且出現了很多連續數字，最後被他誤判為真實結果。

他是想告訴我們，統計學概率有時不等於實際情況。

所以實際拋擲中，連續出現相同數字這種情況可能比我們想的更容易發生。至於為什麼……我也不知道。

圖為我在統計學課上拿到過的各種骰子。可惜沒拍到第一節課的四面骰。

如果你是指「三個相同的數字」，我用 Python 模擬了一千萬次：

In [14]: import numpy as np ...: ...: i = 0 ...: l1 = [] ...: num = 10000000 ...: data = np.random.randint(1,7, size=(num)) ...: ...: while i &< (num-2): ...: if (data[i] == data[i+1] == data[i+2]): ...: l1.append(i+2) ...: i = i + 3 ...: else: ...: i = i + 1 ...: ...: n = np.array([l1[i+1] - l1[i] for i in range(len(l1)-1)]).mean() ...: print("n= ", n) ...: n= 42.9338385248

很多答案算（連續扔了n次中出現連續3個相同數字的次數）/n的不知道是什麼鬼，問題問的是多少次，起碼要大於等於3次且單位是次吧。然而做了除法以後把單位次約掉了，剩一個光溜溜的36沒有意義，至多能解釋為36倍。不過問題確實描述得有點不清楚，姑且認為問題是本科初等概率的一個常見問題，用英文描述是：

Suppose that independent trials, each of which is equally likely to have any of 6 possible outcomes, are performed until the same outcome occurs 3 consecutive times. If N denotes the number of trials. What is E[N]?

按照這個描述，最高票答案是對的，這裡給個解題的詳細過程。等超過100個贊給出計算方差的方法。

記 $T_n$ 表示連續出現 $n$ 個任意數字所需實驗次數， $A_{n-1,n}$ 表示連續出現 $n-1$ 個任意數字到連續出現 $n$ 個任意數字所需實驗次數。有

$T_n=T_{n-1}+A_{n-1,n}$ 。

對上式取期望值有：

$mathbb{E}[T_n]=mathbb{E}[T_{n-1}]+mathbb{E}[A_{n-1,n}]$ ,

其中

$mathbb{E}[A_{n-1,n}]=frac{1}{6} imes 1+frac{5}{6}mathbb{E}[T_n]$ .

化簡式子得差分方程：

$mathbb{E}[T_n]=6 imesmathbb{E}[T_{n-1}]+1$ 。

結合邊界條件 $mathbb{E}[T_1]=1$ ，解得

$mathbb{E}[T_n]=frac{1}{5} left(6^n-1 ight)$ 。

差分方程不會算怎麼辦？Mathematica是個好東西：

RSolve[{T[n] == 6 T[n - 1] + 1, T[1] == 1}, T[n], n]

，得到：

{{T[n] -&> 1/5 (-1 + 6^n)}}

。取 $n=3$ 得到43次。

再給個Monte Carlo的：

Sample[a_, b_, c_, Count_] := Block[{}, If[And[a == b, b == c], Return[Count], Sample[b, c, RandomChoice[{1, 2, 3, 4, 5, 6}], Count + 1]] ]; Mean[Table[ Sample[RandomChoice[{1, 2, 3, 4, 5, 6}], RandomChoice[{1, 2, 3, 4, 5, 6}], RandomChoice[{1, 2, 3, 4, 5, 6}], 3], {i, 1, 20000}]] // N

模擬2萬次得到43.1824。

總可能性6×6×6，連續有123,234,345,456,654,..……321 8種。概率1/27，27次。

那麼，貌似這種方法是錯的，請大家告訴我，為什麼錯了？

反覆利用條件期望的平滑性即可。

連續三個的任意數字123這種的？

附一個我認為連續兩個數字次數的期望。應該是4.686

確實正如某答主所說，高票的答案我個人覺得是有問題的，主要在於骰子有邊界，第一次結果是1，那麼只有12這種可能，但如果是3，就有32和34兩種可能。

1/36嗎。第一次無論扔出什麼數字都可以（算612也順子，類推）。所以第二次，和第三次必須是固定的那個數字才可以。所以是1/6乘1/6=1/36

個人覺得如果同時扔三個骰子，比較難算