請問有沒有概率與幾何結合的知識或者理論？請教諸位大神~~

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Stochastic Geometry

這門學科有年頭了。最早在18世紀，由著名的Buffon"s Needle (Buffon - Wikipedia"s_needle) 問題延伸來的。很長一段時間一直叫做Geometrical Probability。剛開始都是用Integral Geometry的理論來計算這種問題，隨機這一方面用的不多。經典的著作有Luis Santaló 的Integral Geometry and Geometric Probability。之後再現代一點，這門學科就慢慢往Probability 和 Stochastic方面走了。由它延伸出來的分支很多很多：

• Point Process Theories（Point process - Wikipedia）：主要是研究任何空間中的點的分布過程。最簡單的是Poisson Point Process，即所有的點在空間內都是Uniform distributed，給定閉集內點的總數是Poisson變數。由Poisson 模型可以延伸，製造出很複雜的模型，比如聚類模型(Clustering Point Process)，互斥模型(Repulsive Point Process)。Point Process 最早的應用有：天文學星體分布研究，森林植被分布研究，細胞／生物／蛋白質／物理粒子等分布的研究。現在比較火熱的應該是Determinantal Point Process（Determinantal point process），在通信網路，Random Sampling甚至Machine Learning都有應用。國內研究這個的我不太清楚，國際上這方面比較有名的學者有Adrian Baddeley, Jesper Moller以及Wilfrid Kendall, 等等等等前輩。可以去看看他們的著作。

(圖片來源：Research - DFG-Projects)

• Marked Point Process (MPP)。給單純的Point Process的點都加上一些屬性（marks），滿足一定積分有限條件，就是Marked Point Process。這個現在研究的很多。比如在通信行業，點可以表示通信基站的空間位置，每個基站的Mark可以是它們的各種特徵。一般MPP研究所用的理論還是基於普通Point Process的，對於普通適用Point Process的理論都可以延伸到MPP。一種特殊的MPP就是，當點的屬性是幾何特徵時，這種MPP可以用來研究隨機分布的幾何形狀，比如空間中隨機的球體的分布。現在研究這方面的，有一些是搞多物體圖像分割／檢測或者多物體追蹤的：可以把多物體的質心位置標示成Point Process，然後物體的幾何屬性表示成Marks，研究他們的共同分布。這個Google上搜有一大把。這方面的學者，可以關注一下Adrian Baddeley, Marie-Colette van Lieshout, Florent Lafarge, Xavier Decombes 等人的研究。

（圖片來源：Team:AYIN: Efficient Monte Carlo sampler for detecting parametric objects in large scenes）

• Random (closed) Sets。隨機集合，即研究空間中隨機分布的Set的特性。聽起來更MPP 有些理論重合，但實際上這一個分支是從比較理論的集合和幾何論延伸出來的：Hadwiger"s Characterization, Intrinsic Volumes，Choquet Theorem，等等等等。最簡單的模型是Boolean Model，即隨機的圓形／球體組成的集合，更複雜的Germ Grain Model可以是任何Close Set的任何組合，分布。在物理學和材料科學這些領域，這一學科應用比較多。比如研究多種組合型材料的分布特性，Phase Transition(如Ising Model)，滲濾性percolation等等。值得一提的是圖像處理中常用的 Mathematical Morphology也是跟 Random Sets很有淵源的: Georges Matheron 和 Jean Serra 最初研究數學形態學時的理論基礎就是Random Sets。在圖像中的Binary Morphology，就可以看作是 Random Sets理論在Lattice System中的延伸。

（圖片來源：Modelling of microstructures: Fibresystems）

• Random Graphs: 太多了不寫了。。。。

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