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數學高等代數

abc*d=a+b+c+d,a^2bc=2a+b+c等等這類方程有沒有通用的解法？

01-21

數學（不定方程）

問題是求 $prod_{i=1}^mx_i^{a_i}=sum_{i=1}^ma_ix_i$ , $a_iin mathbb{Z}^+$ 類型的方程的整數解吧。

這個還是比較簡單的，實際上可以考慮更廣的方程 $pm prod_{i=1}^mx_i^{a_i}=sum_{i=1}^m a_ix_i+C$ ，其中C是一個整數。

我們證明對任何給定這樣的方程我們有個程序求出所有解。

對m歸納， m=1時顯然。

對m&>1時，我們只需要解對任何i 都有 $|x_i|geq 2$ 的情況。否則我們我們把那些=-1，1 的代入，就轉換成m更小的情況。只有有限種代入方法，代入後由歸納假設可以解。

這時不妨設|x_1| 最大。那麼我們有 $2^{a-a_1}|x_1|^{a_1}leq a|x_1|+|C|$ 其中 $a=sum_{i=1}^m a_i$ .因為m&>1, a-a_1&>0.

若 $a_1geq 2$ , 有 $|x_1|leq a+|C|/2$ .

這樣只有有限組解

若 $a_1=1$ , 我們有 $2^{a-1}=(1+1)^{a-1}geq 1+a-1+1=a+1$ ,

所以 $|x_1|leq C$

只有有限組解。

謝邀。

這種不定方程的解是一個幾何圖形，如果你想研究這種幾何圖形的幾何性質，恭喜你來到了代數幾何的領域。代數幾何的一個起點就是研究高次代數曲線曲面或者更高維的代數簇的幾何性質。

謝邀。

對於 abcd=a+b+c+d， $d=frac{a+b+c}{abc-1}$ ，然後求出 a≠0 時， $b=frac{-a^{frac{3}{2}}mp sqrt{a^3-4}}{2sqrt{a}}$ ， $c=frac{-a^{frac{3}{2}}pm sqrt{a^3-4}}{2sqrt{a}}$ 。

對於 $a^2bc=2a+b+c$ ， $c=frac{2a+b}{a^2b-1}$ ，然後求出一組實根 $a=-frac{1}{sqrt[3]{2}}, b=2^{frac{2}{3}}$ 和兩組虛根 $a=frac{1}{2sqrt[3]{2}}+frac{sqrt{3}}{2sqrt[3]{2}}i, b=-frac{1}{2sqrt[3]{2}}-frac{sqrt{3}}{2sqrt[3]{2}}i$ 和 $a=frac{1}{2sqrt[3]{2}}-frac{sqrt{3}}{2sqrt[3]{2}}i, b=-frac{1}{2sqrt[3]{2}}+frac{sqrt{3}}{2sqrt[3]{2}}i$ 。

From Wolfram Alpha.

對樓上那位答主的補充。

高中僧來兩句。

如果不限制為整數的話，a+b+c+d=abcd可以轉化成d=f(a,b,c)=a+b+c/(abc-1)，

2a+b+c=a*abc可以轉化成c=g(a,b)=2a+b/(a^2b-1)，如果要弄出a的表達式的話，大概要求根公式？

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