特徵函數為什麼叫做特徵函數？

01-21

如題。請注意此「特徵函數」和集合論中的特徵函數（又稱指示函數）不是一回事。

因為一個分布的特徵函數是與該分布密度互相決定的，也就是說，特徵函數體現了並蘊含著該分布的全部特徵。換言之，隨機變數 $X$ 和 $Y$ 同分布，當且僅當它們有相同的特徵函數（當然，同時也當且僅當它們有相同的分布密度）。

以上斷言的充分性，由特徵函數的定義保證，即 $X$ 的特徵函數

$phi_X(t) riangleq E(e^{itX})$ ,

而一個隨機變數的期望僅由其分布唯一決定。

以上斷言的必要性，由如下所述之「反轉公式」保證，即

$mu(a,b) + frac{1}{2}mu({a,b}) = lim_{T o infty} frac{1}{2 pi} int_{-T}^Tfrac{e^{-ita}-e^{-itb}}{it}phi(t) dt$ ,

其中 $mu$ 是任一概率測度， $phi$ 是其特徵函數， $a<b$ . 特別的，如果 $mu$ 是某連續性隨機變數 $X$ 的分布函數，則 $X$ 的概率密度——由上式——滿足：

$f_X(x) = frac{1}{2pi} int e^{-itx} phi_X(t) dt$ .

同上，是概率密度函數的傅立葉變換。。。

可以和矩母函數一起看，當然矩母函數本身的泰勒展

開是矩的母函數，不過看成拉普拉斯也是可以的。

特徵函數之所以叫特徵，在這裡開個腦洞，可能是

因為特徵和矩母函數在數學上都是唯一的，但真的

數值計算的時候矩母函數可能會有數值很接近但是

函數大相徑庭的情況出現，特徵函數對於數值運算

卻是足夠好的吧。

對了。。對於所有分布函數，也就是所謂隨機變數的

xxx，特徵函數必然是存在且唯一確定cdf的。。是不是

有點特徵的味道在了。。

why~問題下找不到冰冰的回答？

這就是傳說中的被摺疊？