設 a,b,c∈R，已知 a>b，b>c，如何證明 a>c？

01-21

百度了好久沒有找到滿意的方法。

看你用什麼公理和定義。

不同體系不一樣。

如果你從自然數的皮亞諾公理開始一步步定義實數，那麼你就得從自然數的序關係一步步走到實數的序關係。

如果你直接採用公理化實數，那麼事情就簡單了，基本就是公理的同義重複。

公理化實數可參見Apostol的《數學分析》，或Royden的《實分析》，或Dieudonne的《Treatise on Analysis》。

從自然數的皮亞諾公理開始一步步定義實數可參見《陶哲軒實分析》，或陳天權《數學分析講義》

通常國內的數學書都從有理數定義了實數。

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關於究竟是從集合開始一步步構造出實數，還是直接採取實數公理化。

如果把尋找最本原的公理當作某種終極意義上的追求，那是應該從集合開始。

但是那個任務大可以交給數理邏輯家去辦。

事實上，如果數理邏輯家的公理最後推不出我們想要的上層結果，要修改的恐怕還是底層而不是上層。（假如連續統假設導致一個數學分析的常用結論被否定，那麼它的否命題會立即被承認為公理；選擇公理之所以被爭議，並不在於它本身看起來不夠顯然，而在於承認選擇公理會推出一些嚴重不顯然的結論。）

換句話說，與其說是底層在支撐上層，不如說是為了上層而構造/選擇一個底層，使得看起來底層在支撐它。

一般的數學研究無需從底層開始，對於任何非從事數理邏輯的人員而言，實數系就是完備序域。

怎樣構造一個完備序域，我們不關心，那些完全封裝起來了。

任何分析、代數、幾何方面需要用到實數性質的場合，都可以從完備序域出發。

c++,java,matlab的使用者無需熟悉彙編語言，雖然熟悉也許有好處，但耗費的精力是否值得呢？

如果一台機器上跑不了我想跑的軟體，那麼連硬體可以換掉。

看了一遍樓上的一堆回答. 尤其是最高票的那個. 還是想多說一句.

不是因為a, b, c屬於實數, 所以才具有傳遞性的.

而是我們先定義了什麼是ordered set, 然後又給有理數定義了滿足ordered set的條件. 然後才證明了實數也是ordered set. (這種問題還是先搬出Walter Rudin)

這個ordered set滿足的條件有兩個, 如下圖顯示.

(1) 如果x, y都屬於ordered set, 那麼, x &< y, x == y, x &> y的情況有且僅有一種.

(2), 如果x &< y, y &< z, 那麼x &< z.

但是, 這個"&<"號是什麼? 它可以是任何東西, 你可以把定義為"石頭&<布", "布&<剪刀", (當然這個不是一個ordered set), 沒有任何問題. 但是對於有理數集Q, 我們的定義是:

如果r和s都屬於有理數集Q, 那麼r &< s被定義成s-r是一個正有理數.

如果按照這個定義, Q是否是一個ordered set? 這個是需要證明的. 完整的證明過程涉及有理數是如何從整數定義的, 整數又是如何從自然數定義的, 非常的麻煩, 可以寫好幾頁書. 估計所有的運演算法則, 加減乘除都要重新定義. 詳情還是請看Walter Rudin的Principle of Mathematical Analysis, 和Terrance Tao的Analysis I.

然後如何從有理數證明到實數, 過程和以上基本相似, 只是麻煩得要死. 不過這些都是在公理化的過程中早已被無數前人仔細推敲完成的理論, 短時間內不可能有任何問題.

與其說這是一道證明題, 不如說這是不斷的在定義.....

附圖為Rudin的數學分析原理第5頁.

實數集中定義了偏序（序公理），偏序具有傳遞性，所以必然有a&>c。建議去看看實數集的定義

我不確定我對你的問題的理解是不是對的，推薦一本書《研究之美》可能可以解決你的問題。

大概在這裡

前情提要：我們定義一個數x=(XL,XR)，然後從0=(空集,空集)開始不斷派生出新的數，然後用XL和XR的比較遞歸的定義小於等於現在來證明一定沒有三個數xyz使x小於等於y，y小於等於z的時候x不小於等於z。用的是反證法：

你這個問題的表示表述就不嚴謹。假設a,b,c屬於實數集。

由a&>b,b&>c推出a&>c 是實數公理中的序公理中的一條。

因此這是公理，不需要證明也無法證明

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補充說明：

首先實數公理是相容的，所以實數的存在性不需要通過構造的方式來證明。

再者，實數的定義是由實數公理給出的。

通過自然數一步步作出實數只能說是給出了實數的一個模型。

下面基於實數的一個模型：戴德金分割，給出證明：我就直接貼圖了：

這個證明證明了這個問題也就是說在戴德金分割的實數模型中實數的全序性等價於自然數的全序性。

再討論就是數學基礎的內容了。

關於 @Xuthurs，提出的實數的存在性問題。由實數公理定義確定的實數的存在性等價於實數公理的相容性。

兩種處理實數的方法都是可行的，沒有誰對誰錯。

如果不是實數集，而是整數集的話，有方法......

&但是從有理數構造實數集不得不繼承有序性，於是有序性在實數集中似乎是公理&

我弄錯了，只需要定義減法，定義實數的大於0就可以不用繼承有序性而是證明有序性了

掃過一遍各位的答案，包括還有 @運算元和某匿名用戶在答案下的評論。

明顯的，這個問題的答案分成了兩大陣營：

實數是公理化定義的，滿足××××這些公理，而序的傳遞性是公理的一部分，因此題主的問題是公理不需要證明。
實數是一步步構造出來的，先只有空集，然後定義自然數，定義整數，定義有理數，定義實數，再定義自然數上的序，整數上的序，有理數上的序，實數上的序，然後一步步證明這些序是滿足傳遞性的，從而題主的問題得到證明。這是某匿名用戶的思路。

從贊同數來看，現在明顯是1佔優……

說一下，自己的立場，我是贊同2的，並且嚴酷地反對包括高票答案在內的立場1，原因很簡單，

實數的公理化定義並沒有給出實數的存在性。

我們拚命作出的好幾套公理裡面談論的「實數」，和我們現在用的1.234567……這樣的實數究竟是不是一樣的東西？公理裡面談論的實數確實滿足序的傳遞性，但是有沒有這樣的「實數」存在呢？

而我覺得，真正要給出實數的存在性只能通過立場2來說明，這個存在性不僅包括實數本身，還有上面的代數結構，序結構，拓撲結構etc.

按照樸素集合論的觀點，只有空集是天賦的，剩下的東西都是一疊一疊構造上去的。這確實不是一個容易理解和想像的方式，但比起這個，我更不相信實數這樣一個複雜的體系是天賦的。

以上。

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給一個十進位小數模型的證法吧。這是一個不嚴格的模型，僅夠理解。

取a,b,c的十進位小數寫法，不妨設都是無限小數(不足用0補)，不妨設整數位是相同的(不同的話在前面補上有限多個0)，設為m位.

即a=a(-m)a(-m-1)...a(-1).a(0)a(1)...（以上是定義）

b,c同理.

那麼根據a&>b，這等價於從某一位開始就大了，也就是存在最小的k，使得a(k)&>b(k)，同理存在最小的l，使得b(l)&>c(l).（這是&>的定義）

取n為k,l中的較小者，則-m&<=i&c(n).（這些依賴的是0~9之間數的大小的傳遞性）

從而a&>c.

這個問題是有意義的，沒有必要通過實數公理來實現。事實上，實數的存在根本不需要作為公理出現，實數是可以由更簡單的公理出發構造出來的。

故事的起點只是皮亞諾公理，關於如何由皮亞諾公理出發得到具有良好性質的實數集，請看我這個匿名回答：怎樣證明 0.999999... = 1？。

關於題主所問的這個問題，大概的解決方法如下：

1，定義整數上的序結構。根據減法並定義什麼是大於0。

2，定義有理數上的序結構。根據減法並定義什麼是大於0。

3，定義實數集上的序結構。還是根據減法並定義什麼是大於0，此處本質是極限的的減法，以及一串有理數的極限大於0是什麼意思。

最後，問題歸結於：需要證明a-c大於0，而a-c=a-b+b-c，需要證明的只是兩個大於0的實數相加仍然大於0，因此，所有的關鍵都是你如何定義一個實數（即一串有理數的極限，當然我們也可以用分割的語言）是大於0的。學過最基本的大學數學分析，比如說epsilon-delta語言就夠了。

更新：

1，我在寫下以上那個回答的時候，只是因為當時並沒有看到類似我這個想法的回答。我一貫的觀點是：一個問題沒有必要只有一個標準答案。同樣，我也沒有點擊反對那些將完備有序集視為實數公理的回答。當然，我也不否認我並不欣賞這樣的回答。畢竟，認識並理解這樣的問題是十九世紀前半期數學分析最重要的工作之一。因此，我再次重申：這是一個很有意義的問題，在某種程度上，這個問題的答案並不顯然，並且可以導致很多進一步深入的討論，比如說：任何完備的阿基米德有序域必定保序同構於實數域，抑或說如何從簡單的一個皮亞諾公理出發構造出實數域。

2，我選擇以上回答還有一個重要原因。我們知道，數學是一門由公理出發通過邏輯和技巧演繹出非常不顯然的結論的學科。如果可以，我希望我出發時候的公理儘可能簡單明了並且儘可能少，於是便有了以上回答。

在這裡我想分享一個故事。

不知道大家第一次接觸數學歸納法是什麼感受？十幾年前我剛剛接觸數學歸納法的時候就很納悶，憑什麼對1成立，假設n成立推出n+1成立就可以確認對所有自然數成立！我最終將其視為一種規定：包含1，並且包含1的所有後繼的集合正是自然數集，這恰好也是皮亞諾公理中的一條，某種程度上最重要的一條。不久之前，我的一個高中同學給正在讀高中的親戚補習數學，遇到同樣的問題：如何理解數學歸納法？這孩子死活不相信數學歸納法是正確的。高中同學求救之後，我也只能拋出這個一個回答：這是規定，數學歸納法的過程描述的就是整個自然數集，你甚至可以認為，先有數學歸納法，後有自然數集。

3，對我來說，我理解的數學就是：我們假定且只假定一些東西，在這個基礎上我們定義新的東西並發現有趣的性質。

最後送上一個我曾經的辦公室室友跟我開的一個玩笑。他在辦公室的黑板上寫下:

Prove Riemann Hypothesis !

我呆立當場。

然後他寫下了一個回答。

Proof: Assume not.

But we assumed.

Contradiction! Q.E.D!!

我們用完備性定義了實數，又反過來討論實數有序性，毫無意義。

事實上看了題主最初的問題，我感覺知乎上問出數學問題的題主80%根本看不懂問題下面的高票答案。基本都是葉公好龍。

關於實數a,b大小的比較，有以下的事實:

如果a-b是正數，那麼a＞b，如果a-b等於零，那麼a=b，如果a-b是負數，那麼a&>b，反過來也對。這可以表示為:

a-b＞0等價於a＞b；

a-b=0等價於a=b；

a-b＜0等價於a＜b。

「等價於」即可以互相推出。從上面的性質可知，要比較兩個實數的大小，可以考察這兩個實數的差，這是我們研究不等關係的一個出發點。

可以證明。不等式有以下有以下性質:

性質1:（對稱性）如果a&>b,那麼bb。

性質2（傳遞性）:a&>b,b&>c,推出a&>c。

[限制性:符號要相同]

從以上兩個性質還可以推出不等式以下的性質:

c＜b，b＞c，推出c＜a。

（不等式左右兩邊同乘或同除一個不為零的正數，不等號方向不變，負數要改變。）

人民教育出版社數學必修五p73

3.1不等關係與不等式

_(:з)∠)_好吧我就是來亂的，剛好補筆記補到這裡……

題主要好好聽課啊┑(￣Д ￣)┍

/（（′Д`）哎呀別打臉！！！

反證法

參考數學分析中的序公理。

參考集合論中擬序關係的定義。（擬序關係是反自反和傳遞的）

/* a,b,c∈R. $in >$ ，當（a&>b $wedge$ b&>c $ightarrow$ a&>c）永真。 */

方法有很多,我來給一個從"定義"出發的:

定義"a&>b",當存在正數x,使得a=b+x成立.

a&>b,所以a=b+x

b&>c,所以b=c+y

所以a=(c+y)+x,即a=c+(x+y)

x+y為正數,所以a&>c

如果a&>b，b&>c，那麼在實數中，b屬於（c，a），如果a小於等於c，那麼b不存在，所以a&>c

a-b&>0..b-c&>0..兩者相加..a-c&>0..a&>c

在知乎討論數學就夠蛋疼了，現在居然開始討論數理邏輯了。。。

因為a b c都是實數，a&>b，那麼a可以表示為b+n（n是正實數），而b&>c，那麼c可以表示為b-m（m也是正實數），那麼a-c的值就是n+m，而n m都是正實數，所以n+m也是正實數，所以a&>c