兩兩獨立、相互獨立 與 「獨立」的含義 ？
有四個數：3,4,5,60
- 事件A：從上面四個數隨機抽一個數是3的倍數
- 事件B：從上面四個數隨機抽一個數是4的倍數
- 事件C：從上面四個數隨機抽一個數是5的倍數
易知事件A、B、C兩兩獨立因為：
- P(AB)=P(A)*P(B)=1/4
- P(AC)=P(A)*P(C)=1/4
- P(BC)=P(B)*P(C)=1/4
但是事件A、B、C不相互獨立因為：
P(ABC)=1/4 不等於 P(A)*P(B)*P（C）=1/8原因在於事件AB不與事件C獨立：事件AB發生時事件C一定會發生，很好理解，因為當AB發生表示抽到了既是3的倍數又是4的倍數，必定為60，則C事件發生。（取自http://blog.sina.com.cn/s/blog_6240b5980100y3w5.html）---------------------------「獨立」在數學上是以P(AB)=P(A)P(B)來定義的。這種定義反應了「獨立」的內在含義了嗎？獨立是否指的是「事件」之間沒有內在的聯繫……
如果是的話，數學上的定義並沒有體現出來，可能僅僅是巧合A與B有內在聯繫的，當A發生時B也有一定的幾率發生（當抽取數為60時）……以及事件A與事件B發生時，事件C一定發生，這還是我們所說的獨立嗎？更進一步，拋硬筆正面還是反面這兩個事件是獨立的嗎？如果是正面的話肯定不會是反面，是有直接聯繫的，當然，在數學定義上也不認為是獨立的。如果依靠P(AB)=P(A)P(B)來判定兩事件是否獨立，還有意義嗎？因為這裡的「獨立」並不是我們所認為的獨立，僅僅是這個公式表示的獨立。私以為，能確定兩事件是獨立的，然後運用P(AB)=P(A)P(B)來對具體問題求解，才具有現實意義。並且這兩種事件，是分屬並無內在聯繫的兩種試驗。比如一個人是男是女與其拋硬幣是正是反……
兩張圖可以幫助理解：
P(A∩B) = P(A)*P(B)
P(A∩C) = P(A)*P(C)P(B∩C) = P(B)*P(C)但P(A∩B∩C) =0 ≠ P(A)*P(B)*P(C)&>0所以這種情況事件A、B、C兩兩獨立而不相互獨立。
且P(A∩B∩C) = P(A)*P(B)*P(C)
所以這種情況事件A、B、C不僅兩兩獨立而且相互獨立。今天也在想這個問題。關於獨立，浙大的《概率論與數理統計》第四版中寫到：
設A，B是試驗E的兩事件，若P(A)&>0，可以定義P(B|A)。一般，A的發生對B發生的概率是有影響的，這時P(B|A)≠P(B)，只有在這種影響不存在時才會有P(B|A)=P(B)，這時有
P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B)。
把邏輯理成順向的就是：如果A發生的條件下B發生的概率不變(A的發生不影響B發生的概率)，即P(B)=P(B|A)，就說A，B獨立。
至於你舉的例子：有四個數：3,4,5,60
- 事件A：從上面四個數隨機抽一個數是3的倍數
- 事件B：從上面四個數隨機抽一個數是4的倍數
- 事件C：從上面四個數隨機抽一個數是5的倍數
（取自http://blog.sina.com.cn/s/blog_6240b5980100y3w5.html）
P(A)=P(B)=P(C)=1/2。 當P(A)發生時P(B)，P(C)發生的概率還是1/2。 P2，P3的發生對於其他兩個事件的影響也一樣。這三個事件兩兩符合獨立的定義。
獨立是概率上的獨立，即一方的發生不影響另一方發生的概率。至於事件上的獨立上，有互斥和對立，但他們在概率上卻是不獨立的(設P≠0)。（註：概率為0或1的事件與任何事件獨立）你提到內在聯繫，當P≠0時，相互獨立的事件恰恰都是有內在聯繫的，這個內在聯繫就是AB在A或B中發生的概率等於B或A在整個樣本空間中發生的概率。如圖，設AB相互獨立。
圖1 AB在A中的概率（即B在A中發生的概率）
所以n個事件相互獨立的意義就是，不含相同事件的事件經過任一線性運算後所得的事件是相互獨立的。通俗說就是不管相互獨立的n個事件中任一部分事件是同時發生，同時不發生，一部分發生另一部分不發生，對其餘的事件的任一部分事件是不是同時發生，同時不發生，一部分發生另一部分不發生的概率沒有影響。
而你的例子顯然不符合相互獨立，有四個數：3,4,5,60
- 事件A：從上面四個數隨機抽一個數是3的倍數
- 事件B：從上面四個數隨機抽一個數是4的倍數
- 事件C：從上面四個數隨機抽一個數是5的倍數
（取自http://blog.sina.com.cn/s/blog_6240b5980100y3w5.html）
A，B，C三個事件中只要有任意兩個同時發生，另一個就一定發生。
自己的總結，歡迎討論更正。「沒有關聯」包含於「獨立」，「沒有關聯」是「獨立」的充分非必要條件。
「獨立」包括兩種情形：
1. 事件A與事件B「沒有關聯」，例如A=「人是男/女」，B=「硬幣是正/反」。
2. 事件A與事件B「有關聯」，但存在一種特殊情況，即P(A)=P(A|B)，可理解為「A發生的概率」與「在B發生的情況下，A發生的概率」恰好相等，例如下圖
獨立事件在數學上的定義是：P(AB)=P(A)P(B)
當P(B)&>0時，那麼P(A|B)=P(AB)/P(B)=P(A),可以證明這是P(AB)=P(A)P(B)的充要條件。
剛剛和小夥伴討論這個問題~
覺得是數學和生活中定義的區別
概率論中的獨立的定義是從數學層面上來解釋的。（而不是生活中A的發生和B沒有影響才是獨立） 數學獨立只是說P(B|A) = P(B) 這個值相等就獨立 這個獨立是不是和我們常規認識上的獨立有區別呢。贊同 數學上的獨立和生活中的沒有關聯的區別
拋硬幣一次，結果為正面或者反面這兩個事件是互斥的拋一個硬幣兩次，第一次為正的概率和第二次為正的概率是獨立的
今天為這個糾結了一下午。。
今天做考研題恰好做到相關題目，也對這個東西糾結了一陣……
首先想說一下你給的題目描述有瑕疵，因為A發生後，只剩3個數字供抽取了。我的理解下，這道題的隨機試驗是「在4個數中隨機抽取一個數」，事件A是「這個數是3的倍數」，B和C類推。但是這三個事件並不是基本事件，例如事件A包含了兩個基本事件：「這個數是3」與「這個數是60」。而B也包含了「數是60」的基本事件，當A發生時B若要發生則一定是「數是60」的基本事件發生了，會給人覺得「縮小」了B發生的範圍，從而認為有」內在聯繫「。
而對於一個人是男是女和ta拋硬幣的正反，我們覺得這是沒有「內在聯繫」的。但是如果寫成隨機試驗的形式：屋子裡的一個人拋出了一個硬幣。事件A：」這個人是男的「。事件B：」硬幣是正面朝上「。事件A也包含了兩個基本事件：」男人拋出了正面朝上的硬幣「和」男人拋出了反面朝上的硬幣「。當事件A發生時，B若要發生則一定是：「男人拋出了正面朝上的硬幣「，而不會再發生」女人拋出了正面朝上的硬幣「，所以B的範圍同樣縮小了，產生了」內在聯繫「。
那麼能否得出結論：」沒有內在聯繫「是否是從抽象的道理映射到形象的生活中產生的錯覺呢？……一個愚見，不一定對啊
如果你有讀到此處，那麼恭喜你，你成功避開了上述非常多的錯誤。
首先，問錯了；A、B、C根本就不是兩兩獨立的事件；把樣本空間增加一個10即可以發現一個奇怪的現象。題主所謂的事件獨立僅僅是數字巧合而給人的假像。
現在好像到了另一層面上，事件的獨立性和樣本的關係！！！
事件的獨立性是否和樣本數量無關呢？事件的獨立性是否可以拋開樣本談獨立性呢？比如說一組數是4的倍數（事件A），與一組數是3的倍數（事件B），A、B是否在某種情況下是獨立的。
總之，我還未能解決實際的問題。嗯，這句話是最重要的。
關於獨立事件和重複事件的關係，既然數學中的獨立定義可以拋開樣本空間的討論直接定義獨立性，那麼是否獨立性與樣本空間的無關呢？還需進一步的學習。
搜索排名如此靠前卻有如此多的漏洞，著實應該指出來。
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