線性到底是什麼意思？

01-21

如線性代數等，他和非線性又有什麼區別？

"線性"="齊次性"+"可加性",

"齊次性"是指類似於: f(ax)=af(x),

"可加性"是指類似於: f(x+y)=f(x)+f(y),

這裡沒有太多特別的原因, 就是一個名字. "非線性"當然就是這兩條至少之一不成立.更多的討論參見:

http://en.wikipedia.org/wiki/Linearity

http://en.wikipedia.org/wiki/Non-linearity

問題本身雖簡單，仔細研究維基百科的頁面會發現這個問題其實很值得思考：

數學裡，一般說的線性，是說的線性映射，這是一個函數（或稱為映射，function or map），而不是方程(equation)。這個映射要同時滿足兩個條件：

1，可加性 f(x + y) = f(x) + f(y)

2，齊次性（同質性） f(αx) = αf(x)

也有用疊加特性：f(ax+by)=af(x)+bf(y) 合起來表示的。

前面有說f(x)=ax+b就是線性，但是應該叫線性方程，因為它既不滿足可加性也不滿足齊次性，叫線性映射是不對的，是弄混了方程和映射的概念。（如果非要給個名字，f(x)=ax+b如果表示函數或映射的話，應該叫仿射，而不是線性映射）。

至於，線性映射和線性方程的聯繫。可以參照

An equation written as

f(x) = C

is called linear if f(x) is a linear map (as defined above) and nonlinear otherwise. The equation is called homogeneous if C = 0.

The definition f(x) = C is very general in that x can be any sensible mathematical object (number, vector, function, etc.), and the function f(x) can literally be any mapping, including integration or differentiation with associated constraints (such as boundary values). If f(x) contains differentiation of x, the result will be a differential equation.

有興趣的可以看明白，大致就是說線性方程的定義是f(x)=常數，並且f是個線性映射，而這裡x可以是數字、向量、任意函數（包含多項式映射、微分等）。

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以上內容是看維基百科的解釋自己理解的。

《線性代數》這門課程里的線性，當然是指線性映射，而且這裡x不一定非是一個數，可以是向量，形成線性空間。至於特徵值和特徵向量，是用線性映射把二次代數方程（注意沒用「非線性方程」的說法以免混淆），轉化為一次的，實際上還是線性映射的應用問題之一。

多說幾句，現實世界的絕大多數問題（可能是所有問題）都是非線性，絕大多數方法都是把非線性問題轉化成線性來解決。「整體是部分之和」，「分而治之」，這些都是典型的線性方法的思想。

真實世界絕大多數問題還是非線性的，這時需用非線性方法解決非線性問題，非線性科學是新興的科學，它研究的問題，比如混沌、自組織、自適應、臨界現象、複雜現象等等。」部分之和不一定等於整體「，」蝴蝶效應「等等，都是非線性方法的一些側面，希望能有新的數學工具出現來解決這些問題。

以上是自己的一些粗淺理解，還望高手專家來補充。

得名於f(x)=ax+b的圖像的形象很直觀就是一條直線的形象 linear 一詞詞根明確出其形象

我並不贊同樓上所說「就是一個名字」而拋出「定義為先」的理解：為「齊次性」和「可加性」的綜合因為本問題所問是線性到底是什麼意思以定義回答定義不敢苟同

我認為：線性的確是由linear引入的而linear又是西方文獻中描述直線形象的抽象指代

據韋伯斯特linear下的解釋呢

第一條就是： of, relating to, resembling or having graph that is a line and esp. a straight line :STRAIGHT

詞源 ORIGIN mid 17th centL from Latin linearis,"a line"

對於一個定義了加法的空間，一個線性變換使得先加再變換和先變換再加的結果的。這個帶來的好處是像和原像在加法這一層面上具有相同的結構。所以凡是只牽涉到有限加法的數學結構，研究像就是研究原像。簡單來說就是這個變換保留了定義域上的加法結構。

線性翻譯成中文的意思是一次。

線性不是獨立的，一般是線性相關和線性無關。

可以完全分解為直線上的投影的運動——我稱之為線性

我個人的理解：

如果題主稍稍了解一點抽象代數，那麼 環這種帶有加和乘這兩種運算的封閉體系就擁有線性性質，也就是齊次性和可加性。

這種加法和乘法的定義是相對寬泛的，其中乘法可能包括了函數的迭代。環的概念並不難以理解，當然要找個好教材。