為什麼P(A|B) = P(A)可以推出事件A和B相互獨立？

01-21

聽說過貝葉斯公式嗎？用這個公式就能推導出來。還有就是「獨立」只是數學上的定義，滿足 $P(AB)=P(A)P(B)$ 的A和B就叫「獨立」，是一個數學名詞，僅僅表示上面的式子成立而已。和我們語文裡面的「獨立」不是一個意思，也不意味著沒有關係。但你從語文的角度來理解是沒有數學思維的表現。

大多數定義不是憑空出現的,他們通常由古人類時期形成的基本印象一層層構建而來.

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既然題主喜歡用邏輯解釋獨立事件的定義,我們就來用邏輯解釋一下唄?

首先,數學中的獨立一定是從日常生活中所說的獨立演變而來的,並可以給出它與生活中的獨立的區別.

題主的例子中,

A=我去上課;

B=室友去上課(記為C)∩下雨(記為D).

已知P(A|C)&A,也就是說C對A有促進作用,而D對A有抑制作用.

P(A|C∩D)=P(A|B)=P(A),也就是說C和D對A的影響被抵消了.

數學是抽象的,如果獨立性的判定必須代入具體事件的話,那它不可能進入數學中.當遇到這種被抵消的特殊情況時,有兩種解決辦法:一是細化獨立性的定義,把P(A|B)=P(A)中的B強制拆開為B1∩B2∩B3...Bn,並要求每一個Bn滿足P(A|Bn)=P(A),並且Bi不能表示為兩個事件的交.由此引出不可分割事件(不是基本事件!)的概念.

不可分割事件:C為不可分割事件,當且僅當C不能表示為另外一些不可分割事件的交

(這裡的循環論證其實並沒有任何意義)

即使這樣的定義能夠成立,也難以被接受,因為它太tm碎了.還拿題主的例子,"我去上課"可以分解為"我出了寢室"∩"我邁開了通向教室的第一步"∩...∩"我邁出了通向教室的最後一步".這一通分解下來還有的做?因此,我們接受了第二種看法,即相信B中的事件是一個整體,它們有著內在的聯繫,比如你邁出每一步都是因為你已經決定要去教室了(馬克思告訴我們,萬事萬物都是有聯繫的~),儘管我們看不出來,或者它們真的沒有聯繫.

結尾:為什麼循環論證部分沒有意義

假設A不是不可分割事件,那麼A= $igcap{An}$ ,且任意An為不可分割事件,n可以是任何符號,則對任意事件A,D,有B=(A∪?D),C=(A∪D),A=B∩C,由於A可以表示為 $(igcap{Bn})cap (igcap{Cm})$ ,所以A不是不可分割事件,即所有事件都可分割.

獨立事件確實是概率論中一個不太好直觀理解的概念。要注意的是隨機事件的概率與所定義的樣本空間有關。

如果事件B的發生不改變事件A的樣本空間，顯然有條件概率P(A|B) = P(A)。例如，一對夫婦已經生了三個男孩（事件B已經發生），他們將要出生的第四個孩子是男孩（事件A）的概率仍然是0.5，因為事件B的發生並沒有改變事件A的樣本空間。在這種情況下隨機事件相互獨立是比較好理解的。

樓主上數學課的例子中，事件B（「下雨且室友去上數學課」）的發生改變了事件A（「我去上數學課」）的樣本空間。為便於理解，我們將「下雨」和「舍友去上數學課」分別記為事件C和事件D。因此，事件B相當於事件C和事件D同時發生，即B= C?D。根據例子中的概率-可以構造情形分析表一。

由上表可以驗證，我去上數學課的概率P(A)=50/(50+50)=50%，下雨後我去上數學課的概率P(A|C)=(1+2)/(1+2+1+6)=30%, 舍友去上數學課的前提下我去上數學課的概率P(A|D)=(1+39)/(1+39+1+9)=80%，而下雨且舍友去上數學課的前提下我去上數學課的概率P(A|B)=P(A|C?D)=1/(1+1)=50%。

注意，上麵條件概率計算式中分母的變化實際上反映了樣本空間的改變。

事件A原來的樣本空間有100個樣本點，而其中一半的樣本點包含在事件A中，因此事件A的先驗概率是50%。當事件B發生（即事件C和事件D同時發生）時，事件A的樣本空間縮小為兩個樣本點，其中一半的樣本點包含在事件A中，因此事件B發生時事件A的條件概率還是保持50%不變。

可以看出，在這種情況下事件B（「下雨且室友去上數學課」）的發生改變了事件A（「我去上數學課」）的樣本空間，但沒有改變新的樣本空間中樣本點的分布比例，因此事件A和事件B還是相互獨立的。

不過，這顯然是一種特殊情況，不能由此得出結論這兩個事件總是相互獨立的。比如，下面的情形分析表二仍然符合P(A)=50/(50+50)=50%，P(A|C)=(2+1)/(2+1+6+1)=30%和P(A|D)=(2+38)/(2+38+6+4)=80%的要求，但是P(A|B)=P(A|C?D)=2/(2+6)=25%就不再等於事件A的先驗概率了。由於事件B的發生改變了事件A樣本空間中樣本點的分布，事件A和事件B就不再獨立了。

綜上所述，如果事件B的發生不影響事件A的樣本空間，則兩個隨機事件相互獨立。否則，要根據定義驗算條件概率是否和先驗概率相等，無法從邏輯或語義分析的角度判斷隨機事件是否相互獨立。

《深入淺出統計學》

別理那些講定義的。

圖片有4張

台版翻譯可能有點怪

我覺得概率不能用單次去考慮。

假設有一個城市，永不下雨。且只有兩個人，老師和學生。

根據一個足夠大的樣本，計算得學生上課的概率是50%

後來城市偶爾下雨。

根據一個足夠大的樣本，計算得不下雨時學生上課的概率是50%，下雨時是40%

則下雨與上課不獨立。

這時候又多來了一個同學（老的是a，新來的這位是b）。

經發現，在不下雨時，b不上課，a上課的概率是40%，b上課，a上課的概率是60%

則兩位同學是否上課的概率不獨立。

下雨時，b上課，a也上課的概率是50%，與第一個樣本一樣。

即P(A)=P(A|BC)。

...

真的么？其實是扯淡的對吧？

這個P(A)早已經是N久之前的P(A)了，是在那個永不下雨且只有2人時期的P(A)

現在的P(A)要去單獨統計才能出結果，可能是30%，可能是60%。

只有這時候仍然是50%，我們才能斷定，互相獨立。

http://math.stackexchange.com/questions/1375668/ask-for-a-question-about-independence-of-random-variable-from-an-event

有點相似的問題，希望題主藉此有所理解。雖然這裡面用資訊理論來解釋概率獨立有用蛋解釋雞的感覺。

其實對很多這種數學問題上不必要設法去直觀理解，事件獨立是 $P(A,B)=P(A)*P(B)$ 嘛，理解了這個公式，再知道由 P(A|B) = P(A) 可以推導出來從而證出獨立就 OK 。沒必要強行對推導出來的公式有個直觀的理解。像很多高維空間的定理啥的都是由低維推廣過去的，能理解二維三維就足夠了，強行理解高次元幹啥。。。

愚見，莫笑。

我認為題主的"獨立"是在客觀事實上定義的，即探究事件發生的原因，從本源上推斷是否兩件事情互相影響。

而數學上定義的"獨立"，通常都是為了表明結果，方便計算，即使兩件事並不"獨立"，但是概率和"獨立"的相同，那當做兩件事獨立來表達觀點或者計算，也沒什麼不可，甚至還更加方便。

所以，數學上定義當P(A|B)=P(A)時，A,B相互獨立。

我能說期末考試卷上剛出了這道證明題了嗎。太神奇了。

你把一個條件分成兩個條件多無聊啊，就為了加難度看起來不那麼直觀？

一句話：你的下雨和室友，在你的題里，就是同一個條件。把他倆分開只是你一廂情願。

學高中物理受力分析整體法和隔離法，本來整體法一眼解決了的東西，非要隔離開分析，我不懂有什麼意義。

p（朝鮮I韓國），朝鮮和韓國現在相互獨立。

抖個機靈。。。。別當真，可摺疊

就是一種巧合，但巧合的不僅僅是表面數字50%，內外巧合是下雨天對你去不去上課的影響和你舍友去上課對你去不去上課的影響剛好抵消了哈哈

一個形式系統到真實世界的映射本來就沒有什麼道理可講，我們只是用這樣一套形式的語言去表達現實世界的問題，當然一套形式語言內部還是要邏輯自洽的

概率上的獨立英文是independent，獨立一詞並不是很直觀，其實你完全可以理解為「不依靠」，或者理解為線性代數中的翻譯「無關」。A|B就是以B已經發生作為前提下發生A，前面再套一個P代表這種事件的可能性。這種可能性和沒有前提單獨發生A的可能性相同，自然說明A的發生不依靠B，或者說兩者沒什麼關係。

至於你提到內在邏輯的那個例子，例子是完全可能的。概率論中的所謂可能性，那個P，並不代表因果，或者說邏輯的推導關係。頻率學派的可能性是一種由大量事實觀測而推出的，對於P(A)，我們不管A內部是怎樣運作的，由大量事件發生總結出A發生的頻繁程度，就是P(A)。它其實研究的是一種「表象」。

回到上面的條件概率公式來說，完全有可能是B的某一部分激勵了A，B的另一部分抑制了A，導致B發生的前提下A發生的概率沒有變化，使A、B看起來沒有關係。但概率上的獨立性就是這麼定義的，表面上「無關」，我們就認為它們「無關」。

P(A|B)=P(AB)：P(B)，這是在條件概率中引入的，其實不管這兩個事件是否相互獨立都可以用，如果是相互獨立的，那麼需要滿足P AB=PA*PB把上面的式子變一下型，就會有PA|B=PA。

其實我們可以這樣想，A|B是B的條件下A發生的概率，如果是相互獨立的，那麼B的發生和A的發生根本沒有關係，不管第一個事件是不是A，第二個事件都是B，所以在A的條件下B發生的概率就是B本身發生的概率，在A拔(A-)的條件下B發生的概率也是P B。

舉個現實的例子，比如汽車行駛在路上發生爆炸的可能性為0.1，我在路上開車，前面的車如果爆炸了記為事件B，PA=0.1那麼我的車爆炸的可能性就會增大記為事件A，那麼PB肯定要&>0.1所以我的車爆炸和前面的車爆炸是有關係的，並不是相互獨立的。

而如果我在北京行駛汽車，那麼我的車發生爆炸的可能性是0.1記為事件A，在上海的一輛車發生爆炸的可能性也是0.1記為事件B，那麼它爆炸與否跟我沒有任何關係，那麼AB相互獨立。上海的車沒爆炸，我的車爆炸的可能性是0.1;上海的車爆炸了，我的車爆炸的可能性還是0.1,所以此時P( A|B)=P( B)

參見茆詩松《概率論與數理統計》中1.2.5「主觀方法」一節

從定義上來說p(A)=p(A/B)，在B這個宇宙中，事件A發生的概率如果等於在原宇宙中，該事件發生的概率，那麼事件獨立。

你的意思是會不會出現在恰好概率相同，而事件之間又存在某種邏輯關係，從定義上來說，不會，只要概率相同，就是獨立，概率不同就是不對立。

如果換了一個宇宙，事件A的概率與原宇宙相同，說明獨立，否則的話概率會不同

貝葉斯概率的作用在於，求出已知前提下某一事件發生的概率。

P(A|B) = P(AB) / P(B)

拿你舉的例子說：

你去上數學課為事件A，你有一半的幾率會曠課。我們得知 P(A) = 0.50

下雨後，你去上數學課的概率下降為百分之30。注意！這時候你去上課的幾率變成了已知條件下（下雨）的概率。寫為 P(A|C) = 0.30

舍友去上課的前提下，你去上課的概率為百分之80。室友上課的幾率記為 P(B), 這次，你去上課的概率是 P(A|B) = 0.80

下雨且舍友去上課的前提下，你去上數學課的概率為百分之50。那麼我們得知 P(A|BC) = 0.50

好，我們整理一下已知的信息。

P(A) = 0.50

P(A|C) = P(AC) / P(C) = 0.30

P(A|B) = P(AB) / P(B) = 0.80

P(A|BC) = P(ABC) / P(BC) = 0.50

看出什麼了嗎？

A和C兩個事件不可能相互獨立。

A和B兩個事件不可能相互獨立。

但是A和BC相互獨立。

這個假設超出了直覺範疇 —— 我去上課和（下雨且室友去上課）相互獨立，怎麼可能呢？

那我們換個角度看。

假設你發現你室友這學期開學之後還沒有逃過課。

有一天下了一場暴雨，周圍的同學很多都呆在宿舍沒有出門，只有你室友在數學課的時間默默背起書包走了。他一定是去了數學課。

這個月又下了好幾場雨，可是室友一直去上課，一次都沒有中斷。

那麼你是不是會覺得，室友一定是個學霸，每次都會風雨無阻的去上課呢？換句話說，他上不上課，和天氣根本沒有關係。這是兩個相互獨立的事件。

再舉個栗子：

你去數學課上拋硬幣，發現正面朝上的幾率為0.5

已知硬幣正面朝上的幾率為0.5

那麼硬幣的正反，一定和你是否在數學課上沒有關係。

還有很多用反向貝葉斯定理推出事件關聯的例子，這裡就不一一列舉了。有興趣可以去搜索 Bayesian inference.

按照題主的問法我也來問個問題好了：兩點之間的距離，直線最短。這個公理成立。而反過來，假設有A,B兩點，現在告訴你AB之間的某條連線的距離是所有AB連線中最短的，那麼也可以推斷出這條連線是直線。

好，那麼現在我就要像題主那樣用「實例」來反證了：我假設AB的距離是7，有不在直線AB上的另一點C，我告訴你AC的距離是3，BC的距離是4，我們可以發現「折線」ABC的長度等於AB，但是它卻不是一條直線，它們相等是不是也只是一種巧合啊？而事實上C必定在直線AB上，這個所謂「實例」本身就不成立。

結論，一切問題都有答案，但前提是這個問題本身是成立的，提問題前先想想你舉的實例在我們這個宇宙中是不是真的存在。