為什麼P(A|B) = P(A)可以推出事件A和B相互獨立？
我已經明白為什麼A和B相互獨立可以推出P(A|B) = P(A)。
但是有點兒不明白為什麼P(A|B) = P(A)可以推出事件A和B相互獨立？舉個例子：我去上數學課為事件A，概率為百分之50，曠課的概率也為百分之50。下雨後，我去上數學課的概率為百分之30。我舍友去上數學課的前提下，我去上數學課的概率為百分之80。
下雨且我舍友去上數學課的前提下，我去上數學課的概率為百分之50。下雨且我舍友去上數學課為事件B。從這裡可以看出P(A|B) = P(A)，但我總是隱隱約約認為這兩件事情不獨立，因為事件B的發生其實已經改變的事件A的一些內在邏輯，P(A|B) = P(A)更像是一種巧合，如果下雨且我舍友去上數學課的前提下，我去上數學課的概率為百分之51，那A和B不就不互相獨立了嗎？希望大家能解答我的疑惑。
因為獨立的數學定義就是P(A|B) = P(A)。
題主犯的錯誤就是看到「獨立」兩個字就自動和日常生活中的「因果關係」划上等號了，然後覺得不對勁，其實如果把「B對於A是獨立事件」改成「B不對A發生的概率造成影響」是不是理解起來更順一點？
把題主一學期上課的情況做成一堆小卡片，每天對應一張，卡片上寫當天題主有沒有去上課，有沒有下雨，題主室友有沒有去上課。1. 從所有卡片中隨機抽一張，抽出題主去上課了的概率是50%。2. 找出所有下雨且室友去上課了的卡片，從裡面隨機抽一張，抽出題主去上課的概率還是50%。所以」下雨且室友去上課「這個條件對題主去上課這件事發生的概率沒有影響。
這麼說吧，數學上定義的獨立性並不就能推出邏輯因果上的獨立性，語境和定義要分清楚。
數學上為什麼要這麼定義，因為足夠簡單可操作，還確實能揭示刻畫一些因果獨立時的性質。畢竟，因果獨立這事你也並沒有辦法定義是吧。信不信就算這樣我也能強行給你解釋一遍：
就拿上課的例子而言。沒有任何條件，你上課與曠課的可能是50%：50%。直觀來說，就是你上課取決於你的一念之間。
如果下雨，你上課的概率變小，說明下雨與你上課為負相關。
如果舍友上課，你上課的概率變大，說明舍友上課與你上課為正相關。如果下雨的同時你舍友上課，這時候你會開始糾結：
上課么？可是外面下雨啊。。。不上課么？可是舍友要去上課啊。。。在這個條件下，
如果你上課的概率低於原來的50%，說明下雨的條件對你影響大。「下雨啊，舍友上課又咋地，我要曠課。。。」如果你上課的概率高於原來的50%，說明舍友上課的條件對你影響大。「舍友上課啊，下雨又咋地，我要上課。。。」那如果等於50%？直觀上來看，說明下雨和舍友上課兩個事件對你產生的影響相抵消，你不能從兩者中取其重取其輕，那麼，上不上課的問題又回到了你的一念之間。
獨立事件是指一個事件的是否發生對另一事件發生的概率沒有影響。在你這個例子下，下雨和舍友上課這個事件實質上並沒有對你的決策產生任何影響，所以這個事件和你是否上課獨立。以下討論均不考慮概率為零的事件。在此前提下，獨立事件確實可以定義為 P(A) = P(A|B)。它的感性理解就是：不管 B 是否發生，A 的概率都不變。
具體到題主的例子，不知道題主的疑惑是不是在這裡：「下雨」和「室友去上課」兩個事件都對「我去上課」這個事件的概率有影響，怎麼合起來之後「下雨且室友去上課」這個事件就對「我去上課」這個事件的概率沒有影響了呢？
事實上，說「下雨且室友去上課」與「我去上課」獨立，並不是說前一個事件的兩個部分「下雨」和「室友去上課」都與「我去上課」獨立。它只是說，不管「下雨且室友去上課」，還是「非（下雨且室友去上課）」，「我去上課」的概率都是 50%。其中「非（下雨且室友去上課）」雖然可以分成「下雨且室友不去上課」「不下雨且室友去上課」「不下雨且室友不去上課」三種情況，但在說「下雨且室友去上課」與「我去上課」獨立時，並不分別考慮這三種情況下「我去上課」的概率，而只會整體來考慮。
至於後面你說「如果……概率為 51% 呢？」，你都修改了條件了，不再滿足獨立的定義了，那當然就不獨立了。
這就是定義。
當然，你可以質疑一個定義的用詞不好。如果你願意的話，你可以在你的大腦里另外建立一套語言。把概率論中的獨立事件換成別的詞。數學中這麼定義只是因為足夠簡單可操作。讓相關的乘法公式成立。
你要從因果關係分析，那萬事萬物都普遍聯繫，要麼沒法定義獨立了。要麼你定義出來的獨立幾乎沒有什麼用，人們還得找一個詞，用它來稱呼這種獨立的關係。認為他們不獨立的原因:「事件B影響了事件A的一些內在邏輯」...但是沒有改變事件A的發生概率，所以對於內在邏輯的影響是通過什麼表現得呢?「P(A|B) = P(A)更像是一種巧合，如果下雨且我舍友去上數學課的前提下，我去上數學課的概率為百分之51，那A和B不就不互相獨立了嗎？
」
是啊，不相等就不相互獨立了....但問題是這不是巧合啊，P(A|B) P(A)都是不能隨便變的定值，是無數次實驗出的結論高等概率論已經丟了很久了，試著回答一下吧，也不知道對不對。我對獨立性的理解是，當有P(A|B) = P(A)這樣一個關係時，對B的觀察所帶來的新增的信息量不會改變你對A事件的發生的概率看法。在這個例子里,B0是室友去上課且下雨，B1是B0這件事沒有發生。那麼無論觀察到了B1還是B0，這樣的信息不會影響對A事件的判斷。這件事情反直覺是因為其實B這個事件本身很「粗」，可以通過加細它來增加它所蘊含的信息量，比如把下雨和室友去上課這兩件事情分開。但就這道題目本身來說，認為它是獨立的應該沒有問題。
獨立僅僅是一種數學定義，也即對於事件A與事件B而言，只要滿足就叫A事件與B事件獨立。根據條件概率的定義，我們也可以證明在
不為零的情況下，題主的式子滿足獨立性定義。至於別的任何企圖給「獨立」加上字面解釋，而往這個定義上靠攏的行為都是瞎搞。
P(A|B) = P(A)的意義是，無論B發生與否，A發生的概率不變，稱A、B獨立。
至於你的例子，舉了一堆自己捏造的先驗概率能說明什麼呢。既然你提供的信息是「下雨且室友上課」發生與否，你去上課的概率都不變，那當然可以說兩者獨立了。你要是改成51%，我立馬就說不獨立咯。
少在先驗概率上摳，概率論不是這麼玩的。數學化就是為了減少這種想當然。
補充一點，你提供的信息符不符合現實、符不符合你的常識那是你自己考慮的，數學結論只建立在你提供的信息成立的前提之下。
數學是忠實的，變的是你。我和你有同樣的困惑，我一直以為有一種方法能夠說明兩個事件的獨立程度，就像萬有引力一樣，不論距離多遠質量多小，總可以算出一個引力值。後來我覺得是不是把條件概率和因果關係過於主觀的聯繫到一起了，總覺得獨立就是沒有因果關係，獨立就是不影響另一個事件的樣本空間，等等之類的吧，但是如果這兩個事件有因果關係但是概率上又是獨立的呢。因為我只有一堆數據，概率只能通過頻數來算，如果算出來就是符合獨立的情況，那他就是數學上的獨立，但是真實情況有沒有因果關係，這個公式貌似也不關心，如果繼續增加數據，但是還是符合數學上的獨立，那麼用公式計算的結果就還是對的，如果新增數據導致算出來的概率變了，那隻能再找新的數學模型了。之前我犯下的錯誤都是太一廂情願了，非得讓真實情況符合數學公式，所以現在我也不關心事件獨立不獨立，有沒有因果關係，算出來的結果能接受就行，或許這一堆數據一點關係都沒有，只是個巧合，又或許有某種神秘的關係，但都不耽誤我能計算的結果啊。。。。。
學好數學，第一步就是要把各種想當然扔掉，定義只要是良好的，就要按定義來。非嘲諷，嚴肅臉。
因為 P(A|B)＝P(AB)/P(B)又已知 P(A|B)＝P(A)則P(AB)/P(B)＝P(A)即P(AB)＝P(A)P(B)所以A，B獨立
P(A|B)=P(AB)/P(B)=P(A),從而P(AB)=P(A)P(B)證畢
強答一個，剛考完離散數學fina，說的不對還請輕噴(??ω??)
因為P(A|B)=P(A,B)/P(B)=P(A)
所以P(A)P(B)=P(A,B)/P(B) * P(B)所以P(A)P(B)=P(A,B)所以獨立如果
「下雨且室友去上課時題主去上課的概率為51%」這時就如題主所說，這兩者並不相互獨立。但是，當例子中概率從50%改成51%的時候，這個例子已經不是原來那個例子了，是完全不同的第二個例子，而在這個例子里這兩件事情並不相互獨立個人認為題主是不是把生活情景代入了所以認為他們不獨立(′?_?`)
畢竟室友不去上課的時候 真的還挺想翹課的(′?ω?`) 所以室友不去改變了我對於去不去上課的內在邏輯(′?ω?`)先說說獨立的定義：A的發生不影響B發生的概率。所以從理論上A——"下雨且室友去上課"B——"平時去上課"由你的描述，A發生了，B發生的概率並沒有變那麼就能說這兩個事件是獨立的因為你還有一個條件C——"下雨天去上課"所以可以發現，下雨天的前提下，室友去上課是會影響到你的，這個時候A與C不獨立
再回到原來，「下雨」「室友去上課」同時發生（即A），並沒有影響到你去上課的概率，所以獨立。
你說到巧合我又想了想，你的問題會不會是來自下面這樣的情況下Ai——"下雨且室友去上i課"Bi——"平時去上i課"而"下雨且室友上課"對"你去上課"的概率是有影響的但恰好i=0時（假設就是數學課）概率都為0.5這樣看起來就像是巧合那麼這個時候 我們不能說Ai與Bi獨立所有人都在講定義，但講得不太對。有種「題主，你看書上就這麼寫的，你較啥真呢」的感覺。
但明明可以再進一步——1.題主你糾結的邏輯有問題；2.例子有問題，不能用來討論概率。題主你還沒明白啥是概率呢。（實在抱歉我也沒明白呢算是強答）你這例子太離譜了根本不是數學。1.邏輯問題（不從概率定義角度光考察例子）：如果下雨天室友去上課從而你去上課的概率是50%，而本來你去上課的概率就是50%，即P(A|B) = P(A)成立，那這兩件事就是獨立的完全沒問題。而如果你發現下雨天室友去上課而你上課的概率變成了51%，那很明顯，P(A|B) = P(A)不成立，這兩件事不獨立了。完全沒明白你糾結在哪兒。 你就這麼想吧：你知道你隔壁宿舍的老王每天上數學課都是通過拋硬幣去決定上不上的（概率50%）。而下雨天他室友去上數學課的時候，用各種手段威逼利誘對他造成影響，他不通過拋硬幣手段去選擇上不上課了。而你這個外人整天在門口等著觀察他，觀察了千萬天發現，下雨天他室有去上課的時候他去上課的頻率也是50%。那麼你一定仍舊認為老王還是拋硬幣決定是否去上課的，所謂的影響根本就沒有啊！還不「獨立」？要是概率變51%了，當然就有影響了啊，就不「獨立」了唄！ 糾結點在哪兒？？？
2.這方面上面@李狗蛋 說得最好。
（i）例子數據成立性。 其實題主你完全在主管臆測舉了一個亂七八糟各種矛盾的例子來。你之所以說自己上課的概率是50%是因為你的設定是上課時候類似拋硬幣決定去不去，很隨機，已經很獨立了！所以後面你自己的設置是下雨天舍友去上課而我去上課的概率是50%。後面你舉反例的時候很隨意地又說51%咋辦呢？自己給自己造的矛盾挖的坑，並未理清自己的思路。為什麼下雨時候你去上課的概率就變30%了？那麼請問下雨的概率是多大？下雨天對你上課與否的關係？這些數據沒給全啊沒法分析了。（ii）可否作為反例用在數學中進行討論。其實簡單說最根本問題就是，樣本空間，事件域相關。題主有想過這方面的東西么，在舉出一個例子後，有問問自己，這是概率么。書上在討論事件A事件B什麼什麼的時候討論的都是些什麼呢？概率之所以是數學的根基在哪兒？概率是函數，是嚴格的數學問題。要談例子什麼得也得完全在概率定義的框架下談，這個事件裡面樣本空間是啥？事件域是？他們概率數據符合相關的定義嗎？隨便舉出點數據是哄騙小學生的手段，是直觀理解的輔助手段。而數學問題中的反例，必須要在數學框架下嚴格討論。最後：其實很佩服題主竟然會在這個地方產生疑問，但更仔細想這個糾結並不成立。我希望提醒題主也是自我提醒吧，學概率咱們還是要放在概率的框架下好好理解，不能總想著中學裡裡面想當然的那套了，畢竟第一章的前兩節可是很重要的內容啊，是整個概率的基礎呢（這個意義上，前面各位說定義就是這麼定義的也完全沒毛病......）