弧度是怎麼來的，為啥要用弧度？起源是啥？

01-21

角度

談弧度，就必須先談下角度，如果世界上只有弧度，沒有角度，我相信大家也就不會疑惑為什麼會有弧度制了。

角度為什麼出現？

角度的出現，是源於對圓周運動的觀察。

這個世界上最大最顯眼的圓周運動就是太陽，就算我們現代人知道地心說是錯誤的，可是以我們的尺度來說，抬頭還是觀察到太陽在做圓周運動。

作為觀察者，我們也非常自然的，以我們為中心，開始計算太陽相對我們的移動，這就開始出現了角度。

圓周為什麼是360°？

地球圍繞太陽公轉，而遙遠的十二星座彷彿固定在圓柱形天幕上:

地球上的我們就像看走馬燈一樣，隨著地球的公轉，在特定的時間看到特定的星座。古人發現了這個規律，並且以星座為參照物，近似觀察出循環周期為360天，也就是一年。

因此，天就被等分成了360份，也就是圓被等分成了360份。雖然後來古人慢慢發現了一年實際上是365天，但是因為360度已經成為習慣，並且非常好計算，所以就被保留了下來。

度數是圓周的佔比

弧度

角度似乎已經足夠描述圓周運動了，為什麼要出現弧度？是來給世界添亂的嗎？

弧度為什麼出現？

弧度的出現，剛開始不過是個數學遊戲。弧度＝弧長/半徑，對於相同的角度這個比值保持不變，所以可以看作角度的另一種表現形式。(其實「弦長/半徑」也是定值，為啥不選這個作為弧度呢？可以想想。)

弧度有什麼現實意義？

弧度是從圓周運動進行者的角度來看待圓周運動。

之前說過，古人的世界觀是天圓地方，人們的旅行都被視為直線運動。歐式幾何裡面的直線筆直的延伸到無窮遠處。

可是，事實是，地球是圓的，隨著技術的發展，大航海時代的來臨，大家越來越認識到這一點。傳統意義上的直線，在地球表面都不復存在，必須重新定義直線的含義。

弧度也是在這樣的環境下開始發揚光大：

知道了移動的角度，也就知道了經緯度，就可以通過地圖進行導航，而利用弧度，大大簡化了這一過程。

「海里」這個航海單位也是弧度在大航海時代的產物。

「海里」傳統上定義為子午線1角分的長度。它可從航海圖中，以子午線上的緯度的改變來量度。
----維基百科

弧度可以把圓周運動轉為直線運動

這種轉換有了之後，就可以很方便的測量汽車的直線速度了。汽車在車胎附近安裝一個感測器，測出車胎的轉速（比如10弧度/秒），乘以半徑（比如1米），就得到了汽車的直線速度（這裡就是10米/秒)。有的計程車換了更小直徑的輪胎而不修改行車電腦裡面的輪胎半徑，就可以輕鬆的「偷里程」。所以，學習多麼的重要啊！

弧度幫助理解重要極限

$displaystyle {lim _{x o 0}frac{sin(x)}{x}}=1$ ，這是個很重要的極限，考試也會經常用到，但是他的幾何意義是什麼呢？

在現代數學中，弧度是最基本的概念

弧度使得角度和實數統一在了一起。對於 $f(x)=sin(x)$ 這個函數而言，如果 $x$ 使用角度，就很難去理解這個方程，一邊的單位是度，一邊是無單位的實數。而使用弧度可以很好的解決這一問題，使得 $x$ 和 $y$ 都是無單位的數。

弧度開啟了三角函數的大門。歐拉在他的著作《無窮小分析概論》就提出了弧度，並且作出了三角函數線（這也是非常有趣的概念，在這裡就不展開了），通過弧度和三角函數線，第一次定義了三角函數！這也是歐拉在數學上的重大貢獻之一。此時，三角分析才開始和函數這個有力的工具掛上鉤。

結論

角度是對圓周運動的觀察，弧度是對圓周運動的進行
角度是有單位的，弧度是無單位的，所有三角函數都應使用弧度

個人覺得，在現代教育中，弧度制應該儘早的引入，而去弱化角度制，讓學生儘早形成對弧度制的直覺認知。就好比加減乘除雖然重要，但是在微積分才是現代數學的基礎。

因為微積分。

本來，三角函數中用什麼角度只是一個單位制的問題，用不同單位就相當於給sin(x)的x取個不同的名字，沒有實際性影響。反正sin(x)算出來量綱是1，跟角度單位無關。

然而考慮導數時，不同單位就有區別了：sinx在0處的導數是一個普適的常數，量綱為(1/角度單位). 所以這個導數的數值具有跟角度單位一樣的量綱。當使用弧度制時，sinx在0處的導數數值為1。使用角度制時，這個數值是pi/180. 我們可以看到pi是自然出現的——即使定義角度制時不需要知道pi. 所以為了方便，不妨使用弧度制，這樣公式(sinx)"=cosx就沒有係數了。即使用角度制來避免出現pi，公式里就會出現pi/180的係數，pi無論如何避免不了

純粹為了方便

為什麼有弧度的東西就那麼有美感呢

沒學過圓周率嗎？3.14.....是由半徑與周長的關係算出來的，3.14....就是弧度

三角學很多公式都是基於弧度而非角度的，計算時亦是角度轉化弧度後再計算。

不同的半徑可能得出的周長是很大很大的，比如兩星球之間，但轉化為弧度後就永遠限制在2PI範圍內，對於計算是一個很有用的優化工作。