一個1000人的營地，每天都有人過生日的概率？

01-21

營地里每當有人過生日的時候，餐廳就會放生日快樂歌。營地並不大，只有一千人左右的樣子，但是感覺每天都在聽生日歌。於是我們就討論了一個問題，1000個人的營地，每天都有人過生日的概率有多高？
經過艱苦的計算，發現算不出來。首先，所有的組合數是365^1000,但是，算不出每天都有人過生日的組合數。但是如果用排列的話，就會有一個問題，就是每個組合的權重不並相同。所以X1+X2+……+X365=1000的所有正整數解的個數，只代表了組合的個數，並不代表每個組合的概率和所有組合的概率加和。
有沒有數學大神可以解釋這個問題？網上的答案都搜過了，很多都有邏輯問題。比如有的人說（1-1/365)^1000代表該天有人過生日的概率。這個沒錯，但是再往下就錯了，因為這1000個人和365天都是有聯繫的，所以接下來就很難算。
Anyway，突然感覺自己智商捉雞了，算不出來好難受。求數學大神！！定重謝！作為交換可以幫助解答一個地學領域的感興趣的相關話題，保證詳細科普！

之前有人提到了容斥原理。確實這是能用容斥原理解答的一個很典型的問題。我想首先來介紹一下容斥原理，然後大家可以看到利用容斥原理可以怎樣直接解答這個問題。

容斥原理：(Santosh S. Venkatesh "The Theory of Probability")

假設有事件 $A_1, A_2, dots, A_n$ ，

定義

$S_k := sum_{1leq i_1 < cdots < i_k leq n} mathbf{P}(A_{i_1}capcdotscap A_{i_n})$

那麼 $A_1, A_2, dots, A_n$ 中至少有一個事件發生的概率為，

$mathbf{P}(A_1cup dots cup A_n) = sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}S_k$

一般的，如果 $mathbf{P}(m)$ 表示 $A_1, A_2, dots, A_n$ 中有 $m$ 個事件發生的概率，

$mathbf{P}(m) = sum_{k=0}^{n-m}(-1)^k inom{m+k}{m}S_{m+k}$

$S_k$ 好像有點難理解，稍微解釋一下。 $S_k$ 表示的是所有事件中有任意 $k$ 個事件同時發生的概率的和。用 $S_1$ , $S_2$ 舉個例子，

$S_1 = mathbf{P}(A_1) + mathbf{P}(A_2) + dots + mathbf{P}(A_n)$

$S_2 = mathbf{P}(A_1cap A_2) + mathbf{P}(A_1cap A_3) + dots + mathbf{P}(A_1cap A_n) + mathbf{P}(A_2cap A_3) + dots mathbf{P}(A_2cap A_n) + dots + mathbf{P}(A_{n-1}cap A_n)$

$S_2$ 以上的基本就寫不出來了(地方不夠啊)。

這原理說的是什麼啊，怎麼都是字母？

我們就拿只有兩個事件的時候舉個例子。比如我們有 $A_1, A_2$ 兩個事件，然後想知道 $A_1, A_2$ 有任意一個發生的概率。最直接的，我們就先寫下，

$mathbf{P}(A_1cup A_2) = mathbf{P}(A_1) + mathbf{P}(A_2)$

但是一想，好像又不太對。 $A_1, A_2$ 說不定有交集，交集那地方不是加了兩次。那就減掉吧，也沒什麼難的，

$mathbf{P}(A_1cup A_2) = mathbf{P}(A_1) + mathbf{P}(A_2) - mathbf{P}(A_1cap A_2)$

那有三個事件 $A_1, A_2,A_3$ 的時候呢？順著之前的思路寫吧，

$mathbf{P}(A_1cup A_2cup A_3) = mathbf{P}(A_1) + mathbf{P}(A_2) + mathbf{P}(A_3) - mathbf{P}(A_1cap A_2) - mathbf{P}(A_1cap A_3) - mathbf{P}(A_2cap A_3)$

誒？好像又不太對。這三個事件有交集的話，三個事件的交集好像減沒了。沒關係，再加回來就是了，

$mathbf{P}(A_1cup A_2cup A_3) = mathbf{P}(A_1) + mathbf{P}(A_2) + mathbf{P}(A_3) - mathbf{P}(A_1cap A_2) - mathbf{P}(A_1cap A_3) - mathbf{P}(A_2cap A_3) + mathbf{P}(A_1cap A_2cap A_3)$

直觀的說，容斥原理就是把多加了的減掉，再把多減了的加上。每次跟準確的概率差的越來越少，直到一點都不差的時候就完成了。啊！那又想到了，是不是有時候利用容斥原理中的前幾項可以對結果進行估計啊。當然可以。布爾不等式就是這樣的。

布爾不等式：(Santosh S. Venkatesh "The Theory of Probability")

假設 ${A_k, kgeq 1}$ 是某個概率空間中的一組事件，那麼，

$mathbf{P}(igcup_k A_k) leq sum_k mathbf{P}(A_k)$

我又明白啦，這不就是把容斥原理中的 $S_1$ 留下了嘛。（當然還有Bonferroni"s inequalities (Santosh S. Venkatesh "The Theory of Probability")，不只給了上限，還給了下限，而且可以根據精度要求進行調整。但是最核心的也是利用了容斥原理。）

容斥原理介紹完了，再回來說說營地里大家過生日的問題。如果把 $A_k$ 定義為事件356天中第 $k$ 天沒有人過生日（就當一年是365天吧，閏年就不考慮了），容斥原理就可以直接用啦（有時候到底如何定義 $A_k$ 還真得想想）。我們關心的是，任何一個 $A_k$ 都沒發生的概率。那就閉著眼睛就開始算吧，

$S_k = sum_{1leq i_1 < cdots < i_k leq n} mathbf{P}(A_{i_1}capcdotscap A_{i_n}) = inom{365}{k}left(1-frac{k}{365} ight)^{1000}$

然後，

$mathbf{P}(0) = sum_{k=0}^{365} (-1)^k inom{k}{0}S_k = sum_{k=0}^{365} (-1)^k S_k =sum_{k=0}^{365} (-1)^kinom{365}{k}left(1-frac{k}{365} ight)^{1000} = 1.71232 imes10^{-12}$

下圖計算了當 $m$ 從 $0$ 到 $50$ 的概率，就是從每天都有人過生日的概率到有50天沒有人過生日的概率（ $50$ 之後的沒畫是因為之後的很接近 $0$ 了）。可以看到 $m$ 大概是 $22$ 或者 $23$ 的時候概率最大。

希望給題主解釋清楚啦！

93.1% ！！！！！93.1% ！！！！！93.1 ！！！！！ 93.1% ！！！！！93.1% ！！！！！大家快來看看我(￣▽￣)！！！

(((o(*?▽?*)o)))

根據題主已給信息，在1000人的營地內，365天都有人過生日。

如此可知，以總概率 1 ，減下沒有人過生日的概率，就是我們要的365天天天有人過生日的概率。

（我的計算器(?ω?)

公式為Binomcdf（1000，1/365，0）=0.06434565

依次可見，一年之中1000人空出一天的概率約為 0.064

同理，1000人空出兩天的概率—————— Binomcdf （1000，2/365，0）=0.0041092312

三天：0.0002604390345

??????直到 364/365，也就是1000人都在一年中同一天過生日，其餘364天都被空了出來:-)

用總概率減去，既得 0.931 = 93.1%

簡單易得(●°u°●) 」

高中數學"擋板法"，假設一年365天，相當於在1000個球中插364個擋板，所以有（364 999）種情況，而所有可能性的話是365天不管多少天沒人過生日都可以，也就是無約束。相當於在1000個球插364個擋板但是擋板之間可以沒球而且擋板可以插在邊緣。也是高中常用技巧，每兩個擋板間增加一個虛擬的球，即1365個球插364個擋板，所以一共有（364 1364）種情況。前者除以後者就是概率。

請看分母為365的365次方，分子為A1000下365上解釋分子每天有生日，固定每日，第一天C1000下1上，第二天C999下1上，同理至最後一天，故可寫為A1000下365上，剩635人，生日自由，故為365的635次方，分母為365的1000次方，約後便是結果。

反對@vali16 ，因為題目說的是1000人營地中每天都有「人」過生日，對於這1000個人來說他們作為人的屬性是一樣的，所以我認為1000人在這裡是一樣的，第1個人在第一天過生日和第二個人在第一天過生日算作一種情況。所以應該是單純的隔板問題， $P=C^{364}_{999}$ 。

不用想了，答案絕對非常非常非常接近於1，俗話說極大概率事件等於必然事件，所以必然每天都有人過生日。就像隨機100個人中必有2人生日是同一天一樣。如果非要算，可以這麼計算，每個人的生日都有365種情況，1000個人有365^1000種情況。每天都有人過生日的情況可以這麼算：把1000個人分成365份，然後把365份分別分到365天中去。算不下去了。

反對以上所有。。因為一年可能有366天啊！！

來指出一種答案的錯誤

總情況是1000人每人都有365種選擇所以是365^1000

然後先從這1000人中選出365人讓他們排列即P(1000,365) 剩下的1000-365個人再每人有365種選擇所以最後答案就是

P(1000,365)*(1000-365)^365/365^1000

看起來很合理

但是這個答案沒有注意到先從1000人中選365人進行排列後剩下的635人隨意排列的組合是有重複的情況

比如說開始365人取了a放在1月1號 635人中的b也放在了1月1號

也有可能365取了b 635人取了b

$P=frac{A_{1000}^{365}cdot 365^{1000-365} }{365^{1000}}$

@冥雪幽藍說的就是這樣

（之前分子上剩的635人忘掉了...）

如果要考慮2月29號生日的會不會增加複雜性？

或者農曆生日呢？

感覺腦細胞分分鐘不夠用。

對天數用容斥原理計算。稍微具體寫一下吧，每天都有人過生日的概率等於1-365*P(某一天沒有人過生日)+C_{365}^2*P(某兩天沒有人過生日)-……，而每一個P都是可以算的。具體表達式同vali16的答案。

建議你還是拿個軟體跑一下吧，應該幾分鐘能跑出來。

說一下為什麼不能先選出365個人排好再讓剩下的人隨機選擇吧，因為會重複計算(比如A，B都在同一天過生日，那麼先選A還是先選B就會有兩種選法)，而且可以看到不同情況被重複次數是不一樣的。

1000-365=635

好了我們把這365人隨便放哪天生日都無所謂了一共有 365^635種方法（如果人和人之間沒區別的話）

如果算總人數隨便排的話總共就是365^1000種方法

自己求他們之間的比值吧= =

當然如果人和人有區別例如A 1月1日生日 B 1月2日生日與A 1月2日生日 B 1月1日生日是兩種不同的情況的話（A（3/3）=3*2*1）我不會表示A33= =）

那前者就是C(365/1000)A(365/365)A(635/635)*365^635

後者就是A(1000/1000）*365^1000

結果自己算去吧= =