負二項分布為什麼叫這個名字？「負」從何而來？

01-21

X為參數為(r, p)的負二項隨機變數

$P(X=n)=dbinom{n-1}{r-1}p^{r}(1-p)^{n-r}\ =dbinom{n-1}{n-r}p^{r}(1-p)^{n-r}(symmetry)\ =p^{r}dbinom{r+j-1}{j}(1-p)^{j}(j=n-r)\ =p^{r}(-1)^{j}dbinom{-r}{j}(1-p)^{j}(dbinom{r+j-1}{j}=(-1)^{j}dbinom{-r}{j})\ =p^{r}dbinom{-r}{j}(p-1)^{j}$

現在我們再看看係數為負的二項展開

$[1+(p-1)]^{-r}=sum_{j}{dbinom{-r}{j}(p-1)^{j}},r > 0$

由此看出負二項分布是係數為負的二項展開。與它相對的是二項分布，它是係數為正的二項展開。

從定義上看：

Binomial分布和Negative Binomial分布，都是多次重複Bernoulli實驗。

Binomial關注的是，重複Bernoulli實驗成功概率為p，條件為總共實驗N次，隨機變數為N次實驗中成功實驗次數k（k∈Z,k∈[0,N]），該隨機變數的概率分布為Binomial分布。

Negative Binomial關注的是，重複Bernoulli實驗成功概率為p，條件為累計出現r次失敗，隨機變數為成功實驗次數k（k∈Z,k∈[0,+∞)），該隨機變數的概率分布為Negative Binomial分布。

Binomial和Negative Binomial分布的隨機變數都是成功實驗次數，條件不同。從定義上來看，」負「可以理解為站在失敗次數的角度看成功。

從公式上看：

Binomial分布的PMF為：

$Pr(k;n,p)=Pr(X=k)={n choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}$

Negative Binomial分布的PMF為：

$Pr(k;r,p)=Pr(X=k)={inom {k+r-1}{k}}p^{k}(1-p)^{r}$

其中，第一個括弧里的部分為二項式係數，可以展開為：

${inom {k+r-1}{k}}={frac {(k+r-1)!}{k!,(r-1)!}}={frac {(k+r-1)(k+r-2)dotsm (r)}{k!}}$

經過變化可以得到： ${frac {(k+r-1)dotsm (r)}{k!}}=(-1)^{k}{frac {(-r)(-r-1)(-r-2)dotsm (-r-k+1)}{k!}}=(-1)^{k}{inom {-r}{k}}$

所以Negative Binomial分布的PMF還可以寫成如下形式：

$Pr(k;r,p)=Pr(X=k)=(-1)^{k}{inom {-r}{k}}p^{k}(1-p)^{r}$

和Binomial分布的PMF比照而言，不難看出，「負」也體現在二項式係數的部分。

註解：公式部分內容源自維基百科

參考鏈接：

Binomial distribution

Negative binomial distribution

以下圖片來自《統計推斷第二版》第三章。

按照離散次數的統計，負二項分布描述第k次成功需要的總次數。是統計其歷史數據的，方向是反的，所以用「負」來表示。

一家之言！