如何理解隨機變數定義中sigma域存在的意義？

01-21

In order for Fx(x) to be well defined, the event must be legitimate, in the sense that it is an element of F. 請問如何理解？

在概率論的第一堂課中，我們知道了概率論中的「事件」與集合有著非常相似的性質，所以事件的關係及運算也就可以自然而然地類比到集合間的關係及運算。比如，包含、交並差、結合律、分配律、德摩根律等等。要保證這些關係和運算，我們把所有事件放在一個事件域 $F$ 中，這個事件域必須滿足一種布爾代數結構：

1.全集 $Omega in F$ ；

2.補運算封閉，即若 $Ain F$ ，則 $ar{A} in F$ ;

3.有限並封閉，即若 $A_{1} ,...A_{n} in F$ ，則 $igcup_{i=1}^{n} A_{i} in F$ .

一開始人們只研究古典概型，古典概型的基本事件是有限的，每個基本事件的可能性是相等的。後來人們開始研究幾何概型。幾何概型針對的是無限（不可數）個基本事件，只有通過幾何的方式來對這種「等可能性」進行刻畫。聰明的古代數學家開始用測度來計算概率。

而在這一期間，出現了很多奇怪的、矛盾的現象。幾何中長度、面積和體積（我們把它們統一為「測度」）的計算常常是通過積分來計算的，但是有的時候積不出來。有的時候，由於從不同的幾何對象入手，同一個問題得到了不同的概率。

後來人們發現，這些問題的根源在於並不是所有的線段都是具有長度的，也不是所有的圖形都具有面積的。人們將這些不可求測度的集合稱為「不可測集」。顯然我們不希望事件域中也有這樣稀奇古怪的事件。

我們希望，只要構造了合適的概率試驗，確定了基本空間，就能用「測度」來表示概率。所以，測度所具有的性質，概率也應該具有，比如非負性、有限可加性，等等。這些性質是不言而喻的。還有一個不怎麼「顯然」的性質是完全可加性（可列可加）。測度論公理中，完全可加性是必要的，否則會造成諸多不便。概率學家自然也不想自找麻煩，所以完全可加也是必要的。

所以與之相對應的，布爾代數結構也就不夠用了。因為僅僅依靠布爾代數結構只能保證概率的有限可加。所以人們要求事件域 $F$ 要滿足一個要求更高的代數結構，即 $sigma-$ 域：

1.全集 $Omega in F$ ；

2.補運算封閉，即若 $Ain F$ ，則 $ar{A} in F$ ;

3.可列並封閉，即若 $A_{1} ,...,A_{n} ,...in F$ ，則 $igcup_{i=1}^{infty } A_{i} in F$ .

事實上，可測集的全體就是一個 $sigma-$ 域。以上。

寫了這麼多，有點亂，還是總結一下吧：

1.事件的關係及運算類似於集合，這要求事件域具有布爾代數結構。

2.對於基本事件無限多的情況，要用測度來刻畫概率，我們只研究「可測集」。

3.測度具有可列可加性，概率也應該具有。

4.概率的可列可加性要求對布爾代數進行改進，所以要求事件域是 $sigma-$ 域。

你提的那句英文其實表達了這樣一個意思：現在要定義概率空間 $left(Omega,mathcal{F},F_x ight)$ ，它包含三個元素，其中的 $F_x$ 是個函數，是函數就要有定義域，那麼這個定義域就是 $mathcal{F}$ 。

然後這個 $mathcal{F}$ 以及函數 $F_x$ 滿足三條性質，再算上樣本空間 $Omega$ ，就是一個概率空間了。

定義這樣一個集合 $mathcal{F}$ 並不是平凡的，對於有限集或者可數集， $mathcal{F}$ 取 $Omega$ 的所有子集組成的集合即可，但是對於不可數集合，如實數集，構造 $mathcal{F}$ 就要費一番功夫了。