某Boss擊殺掉落頭手和腳道具，假設掉率分別為百分之30 30 40。一次只掉一件。問平均需要擊殺幾次湊齊一套？

01-21

直接求 $P(X=n)$ ，這裡 $X$ 為恰好集齊一套時的擊殺次數。

顯然， $ngeq3$ 。 $n$ 次時恰好集齊這三件道具，也即第 $n$ 次時首次掉落某種道具，而前 $n-1$ 次中每次掉落的都是另外兩種道具中的一種。並且在這 $n-1$ 次中，這兩種道具都至少掉落一次。

下求 $P(X=n)$ ：

$P(X=n)=0.4sum_{k=1}^{n-2}{C_{n-1}^{k}}0.3^{k}0.3^{n-1-k} +2 imes0.3sum_{k=1}^{n-2}{C_{n-1}^{k}}0.3^{k}0.4^{n-1-k}$

$=0.6 imes0.7^{n-1}+0.4 imes0.6^{n-1}-0.6 imes0.4^{n-1}-1.4 imes0.3^{n-1}$

期望為：

$E(X)=sum_{n=3}^{infty}nP(X=n)approx5.64$

用Excel模擬10000次，結果在5.64次左右徘徊，至於怎麼算出來，容我再想想=。=

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根據題主的信息，確實是通過容斥原理來計算的。

獲得1個頭，平均需要1/0.3次

獲得1個手，平均需要1/0.3次

獲得1個腳，平均需要1/0.4次

將這3項簡單相加，共計（1/0.3+1/0.3+1/0.4）次，而這裡面，是有重複情況的。

以頭為例，平均1/0.3次獲得1個頭，而（1/0.3-1）次中存在獲得了手或腳的情況，與另兩項有重複計算的次數，其餘同理

所以要利用容斥原理，湊齊一套的期望次數就是1/0.3+1/0.3+1/0.4-1/(0.3+0.3)-1/(0.3+0.4)-1/(0.3+0.4)+1/(0.3+0.3+0.4)≈5.64次

emmm……謝邀

容斥的方法有人說過啦，提供一種比較容易理解的思路

我們就用裝備掉率代表裝備，那麼掉落順序其實就3種：

情況一 40 30 30

情況二 30 40 30

情況三 30 30 40

3種情況在所有掉齊裝備的情況中的佔比分別是p1=40%，p2=60%×40%/70%，p3=60%×30%/70%

第一次掉什麼裝備都無所謂，計次數t1=1

第二件裝備需要和已有的那件不一樣

情況一，掉出第二件的期望次數t12=1/60%=5/3次

情況二和三，掉出第二件的期望次數t22=1/70%=10/7

那麼總的掉出第二件裝備的期望次數t2=t12×p1+t22×（p2+p3）=2/3+6/7

第三件裝備需要和前兩件不一樣

情況一，第三件期望次數t13=1/30%=10/3

情況二，第三件期望次數t23=1/40%=10/3

情況三，第三件期望次數t33=1/30%=5/2

那麼總的第三件裝備掉出的期望次數

t3=t13×p1+t23×p2+t33×p3=4/3+8/7+9/14

總期望次數=t1+t2+t3≈5.643

樓上回答「臉黑一輩子掉不了」的那位去洗洗睡了好吧，題主明明問的期望。

高票的容斥原理正解，期望為5.642次。下面給出基於matlab的掉落模擬器~以後遇到此類問題改個數就好~

%下面是題主所問的3件套掉落模擬器 A=zeros(1,3);%定義一個數組。 i=0;%不掉落裝備的情況. Times=input("inputTimes=: ");%例如模擬次數100W o=0;%收齊一套的次數 for n=1:Times x=rand();%產生0到1均勻分布的隨機數 if x&<=0.3 %掉落頭部件 A(1)=A(1)+1; elseif x&<=0.6 %掉落手部件 A(2)=A(2)+1; elseif x&<=1 %掉落腳部件 A(3)=A(3)+1; %else %由於不會出現空掉落，所以注釋了 % i=i+1; end if A(1)&>=1A(2)&>=1A(3)&>=1 %第一時間滿足一套的時候 A(1)=0; A(2)=0; A(3)=0; o=o+1; end end o; T=Times/o %求期望

inputTimes=: 1000000

T =

5.6417

看了樓上的回答我翻了翻某某數學教材，找到了關於容斥原理的內容，順便把教材內容搬過來了

如果被計數的事物有A、B、C三類，那麼，將A、B、C三個集合的元素個數相加後發現兩兩重疊的部分重複計算了1次，三個集合公共部分被重複計算了2次。

　　如圖所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重複計算了1次，黑色部分A∩B∩C被重複計算了2次，因此總數A∪B∪C=A+B+C-(A∩B-A∩B∩C)-(B∩C-A∩B∩C)-(C∩A-A∩B∩C)-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。即得到：

　公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C

總數=三個圓內的-重合兩次的+重合三次的

容斥定理

不會掉落裝備的概率是0.7*0.7*0.6=0.294,所以掉落裝備的概率大於1-0.294=0.706,但已知不同時掉落多件裝備，所以掉落裝備的概率是0.706,而掉落概率有兩個部位是較低的30%,所以要掉落10/3次是，要打3.333333333/0.706=4.72143532次才能集齊！

我不知道我這麼想對不對。首先我把你說的「一次只掉一件」定義為「一次掉落且僅掉落一件」。

然後我們假設一共打了10次boss，平均掉落頭、手和腳道具3，3，4件，而湊夠一套我們需要頭、手和腳道具各1件，故拿10（次）除以3，3，4中最小的數3，得3.33333...得解。

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說明：看題主問的問題究竟是什麼，是「需要擊殺多少次才能收集到第一套」還是「在擊殺次數很大的情況下，平均湊齊一套擊殺了Boss幾次」。我是按後者算的。。

題主這樣的想法是不對的。

玩過d2的都知道。

掉落幾率是當次的幾率，而不是平均的幾率。

也就是說，有可能一輩子都不會湊齊了。

這得問是哪家公司出的遊戲，以及玩家氪了多少金。

某Boss擊殺掉落頭 手和腳道具，假設掉率分別為百分之30 30 40。一次只掉一件。問平均需要擊殺幾次湊齊一套？

某Boss擊殺掉落頭手和腳道具，假設掉率分別為百分之30 30 40。一次只掉一件。問平均需要擊殺幾次湊齊一套？