什麼是 LBQ 檢驗？

01-21

Ljung-Box test是對randomness的檢驗,或者說是對時間序列是否存在滯後相關的一種統計檢驗。

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說明

對於滯後相關的檢驗，我們常常採用的方法還包括計算ACF和PCAF並觀察其圖像，但是無論是ACF還是PACF都僅僅考慮是否存在某一特定滯後階數的相關。LB檢驗則是基於一系列滯後階數，判斷序列總體的相關性或者說隨機性是否存在。

LB檢驗的原假設和備擇假設分別為：

H0: 原本的數據都是獨立的，即總體的相關係數為0，能觀察到的某些相關僅僅產生於隨機抽樣的誤差。即 $hat{ ho}^2_1=hat{ ho}^2_2=...=hat{ ho}^2_h$ ,其中h是人為給定的,有的時候我們在軟體中僅僅給定一個上界,而不是具體的h。
Ha: 原本的數據不是獨立的，即至少存在某個 $hat{ ho}^2_k eq 0$ ,其中 $kleqslant h$ 。

構造的統計量是：

$Q = nleft(n+2 ight)sum_{k=1}^hfrac{hat{ ho}^2_k}{n-k}$ ，其中n是樣本數量, $hat{ ho}^2_k$ 是樣本k階滯後的相關係數，該統計量服從自由度為h的卡方分布。給定顯著性水平 $alpha$ ,則拒絕域是 $Q > chi_{1-alpha,h}^2$ 。接受原假設意味著，認為原序列是白雜訊序列，否則認為序列存在相關性。

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應用

我們知道，時間序列中一個最基本的模型就是高斯白雜訊序列。而一些基礎的模型，比如ARIMA模型，其殘差被假定為高斯白雜訊序列，所以當我們用ARIMA模型去擬合數據時，擬合後我們要對殘差的估計序列進行LB檢驗，判斷其是否是高斯白雜訊，如果不是，那麼就說明ARIMA模型也許並不是一個適合樣本的模型。而對於更為複雜的模型，比如GARCH類模型Autoregressive conditional heteroskedasticity，在開始進行ARCH效應檢驗並擬合後，對於所得到的 ${Z_t}_{t=1}^n$ 序列，我們同樣要進行LB檢驗，判斷其是否與我們對模型的初始假定相同。通過上面的分析不難看出，LB檢驗作為序列獨立性的檢驗(白雜訊檢驗)是對模型設定是否合理的重要檢驗之一。

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更多的時間序列的資料可以看看Tsay的金融時間序列分析,而LB檢驗無論是R,MATLAB,SAS都很好實現。下面是R的一個例子

x &<- rnorm (100) Box.test (x, lag = 5) Box.test (x, lag = 10, type = "Ljung")