無限個無窮小的乘積是？

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首先明確，無窮小不是一個實數，而是一個函數 (數列也是一種函數) http://www.zhihu.com/question/20454375/answer/15174882。當可數個無窮小量的極限條件不相同時，容易構造出乘積不是無窮小量的例子，所以我把條件限定為「極限條件相同」。

以數列為例，令序列 {a_n(k)} = (n, n-1, …, 2, 1, 1/2, 1/3, …)，n∈N+。顯然對每一個 n，a_n 都是 k→∞ 時的無窮小量，但是它們的乘積 P(k) := a_1(k) × a_2(k) × … × a_n(k) × … 不是無窮小量。

因為對任意 k&>1，P(k) = 1/k × 1/(k-1) ×…×2×1×2×…× k ×… = (k+1)·(k+2)·(k+3)… = ∞，即 P 的每一項都是無窮大，故不是一個無窮小量。

再舉一個乘積為普通數列而不是無窮大的例子，顯示公式請裝插件http://www.zhihu.com/question/19817384/answer/15393725。(Chrome 下可能公式巨大，縮放至 110% 刷新就正常了。)

令數列(~{a_n(k)}_k =(underbrace{1,~1,~ldots,~1}_{n-1~個},~n!,~frac{1}{2},~frac{1}{3},~ldots),~nin mathbb{N^+}~)，那乘積(~P~)就是常數列(~1,~1,~1,~ldots)。[

egin{array}{ccccccccc}

a_1: 1! frac{1}{2} frac{1}{3} frac{1}{4} frac{1}{5} frac{1}{6} frac{1}{7} ldots \

a_2: 1 2! frac{1}{2} frac{1}{3} frac{1}{4} frac{1}{5} frac{1}{6} ldots \

a_3: 1 1 3! frac{1}{2} frac{1}{3} frac{1}{4} frac{1}{5} ldots \

a_4: 1 1 1 4! frac{1}{2} frac{1}{3} frac{1}{4} ldots \

a_5: 1 1 1 1 5! frac{1}{2} frac{1}{3} ldots \

a_6: 1 1 1 1 1 6! frac{1}{2} ldots \

a_7: 1 1 1 1 1 1 7! ldots \

vdots vdots vdots vdots vdots vdots vdots vdots ddots

end{array}

]本答案發布後，我看到仍有人在提交或贊同錯誤答案，我想可能是因為我沒有給出「函數式」的無窮小量的反例。其實數列本來就是一種函數，而且可以直接轉化成函數式無窮小量的形式。不過，為了免除這類疑慮，我還是再給出一個這種反例：

對於(~nin mathbb{N^+})，令(~f_n(x)=frac{n}{x}，xin mathbb{R^+})，顯然對每個(~n)，(f_n~)都是(~x o +infty~)時的無窮小量，而乘積[

p(x):=prod_{n=1}^{infty}f_n(x) = left(prod_{1leqslant nleqslant x+1}frac{n}{x}
ight) left(prod_{n&>x+1}frac{n}{x}
ight) = left(prod_{1leqslant nleqslant x+1}frac{n}{x}
ight) cdot (+infty) equiv+infty ~，quad xin mathbb{R^+}~。]

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占坑

手動翻書找到了答案，還好並不研究這個

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引用：

Nonmathematical people sometimes ask me, "You know math, huh? Tell me something I"ve always wondered, What is infinity divided by infinity?" I can only reply, "The words you just uttered do not make sense. That was not a mathematical sentence. You spoke of infinity as if it were a number. It"s not. You may as well ask, "What is truth divided by beauty?" I have no clue. I only know how to divide numbers. "Infinity", "truth", "beauty" -- those are not numbers."

- Prime Obsession by John Derbyshire.

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等於0

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我認為：

1. 無限個無窮小的乘積是0.

2. 0不是無窮小.

高數課本上，有限個無窮小的乘積是無窮小，那無限個無窮小的乘積是什麼？

很多人試圖證明無限個無窮小的乘積是不確定的，甚至可以是無窮大。

但從沒看到讓人信服的證明，而且直觀感覺很荒謬。

這會不會是思維定勢的原因呢？

也許無限個無窮小的乘積就是絕對的小，為零

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不知道證的對不對，請海涵，請指點。

考慮n個（n→∞）無窮小的情況：

設α1，α2，······，αn為x→x0時的n個無窮小，即limα1=0，且β=α1*α2*······*αn，則

?ε&>0,由於limα1=0，則對於ε^(1/n)&>0，?δ1&>0，使當0&<|x-x0|&<δ1時，有

|α1|&<ε^(1/n)，

對於α2，······，αn，同理有δ2，······，δn，使當0&<|x-x0|&<δn時，有

|αn|&<ε^(1/n)。

取δ=min{δ1，δ2，······，δn},則當0&<|x-x0|&<δ時，同時成立

|α1|&<ε^(1/n)，······，|αn|&<ε^(1/n)，從而

|β|=|α1*α2*······*αn|=|α1|*|α2|*······|αn|&<[ε^(1/n)]^n=ε

故x→x0時，β也是無窮小。

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