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若 a＞b＞c＞d，如何求證 √a×a＋d×d＋√b×b＋c×c>√a×a＋c×c＋√b×b＋d×d？

01-21

設 $a>b>c>d$ ，證明 $sqrt{a^2+d^2}+sqrt{b^2+c^2}>sqrt{a^2+c^2}+sqrt{b^2+d^2}$ 。

你看這問題寫的這麼花哨你就是被它騙了，分析問題的時候要看清楚哪些才是真正的約束條件

我們記 $S = a^2+b^2+c^2+d^2$ ， $x_1 = a^2 + c^2$ ， $x_2 = b^2 + c^2$ ， $x_3 = b^2 + d^2$

在 $a > b > c > d ge 0$ 的情況下，有 $x_1 > x_2 > x_3$ ，

設 $f(x) = sqrt{x} + sqrt{S-x}$ ，它是兩個上凸函數的和，所以還是個上凸函數，

我們順便複習一下上凸函數的性質：上凸函數曲線上任意兩點的連線，都在兩點間曲線的下方，也就是

$f(alpha u + (1-alpha) v) > alpha f(u) + (1-alpha) f(v)$

而原不等式等價於證明 $f(x_1) < f(x_2)$

由於 $x_1 > x_2 > x_3$ ，我們可以設 $x_2 = t x_1 + (1-t) x_3$ ， $0 < t < 1$ ，則

$f(x_2) = f(tx_1 + (1-t)x_3) > tf(x_1) + (1-t)f(x_3)$

又有 $f(x_3) = f(x_1)$ ，

所以 $f(x_2) > f(x_1)$

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再直觀一點就是 $y = sqrt{x}$ 上面

兩個紅點和兩個綠點函數值求和的關係，它們橫坐標平均值相等。顯然這就是 $y = sqrt{x}$ 函數上凸特性的表現。

$sqrt{b^2+c^2}-sqrt{b^2+d^2}>sqrt{a^2+c^2}-sqrt{a^2+d^2}>0$

$frac{c^2-d^2}{sqrt{b^2+c^2}+sqrt{b^2+d^2}}>frac{c^2-d^2}{sqrt{a^2+c^2}+sqrt{a^2+d^2}}$

$frac{1}{sqrt{b^2+c^2}+sqrt{b^2+d^2}}>frac{1}{sqrt{a^2+c^2}+sqrt{a^2+d^2}}$

$sqrt{b^2+c^2}+sqrt{b^2+d^2}<sqrt{a^2+c^2}+sqrt{a^2+d^2}$

觀察左右兩邊對a和d的導數並比較大小。你會發現a減小和d增加都使左邊減右邊減小。但a等於b，d等於c時左邊恰好等於右邊。因此在你的條件下左邊大於右邊。

題主問題格式有點難於理解，abcd應該規定是正數吧。如果按我的理解，證明應該是大於號。你參考一下，如果題目理解錯了再問。

好有趣的一道題，我忍不住做了一下，但很多年沒有學數學，不知解法是否合理，還請大家指點。

主要的思路很簡單，因為兩邊都大於零，所以分別平方之後比較大小，平方以後各種互相抵消之後結果就出來了。

這有何難？兩邊同時平方,消去相同項，再平方，原不等式等價於(a2+d2)(b2+c2)&>(a2+c2)(b2+d2)①，其實我們可以看到只需要a&>b&>c&>d&>0就行了，有沒有平方，沒啥關係。

①式有兩種證法，直接展開，則等價於

(a2-b2)(c2-d2)&>0，顯然成立。

或者設m=a2+c2，n=b2+d2，p=a2+d2，q=b2+c2。

則m,n,p,q&>0且m+n=p+q，根據a&>b&>c&>d&>0可知，m&>p,q&>n&>0，所以有pq&>mn，即①式成立。這裡用到了兩個數和一定，則他們相差越小，乘積越大。

你確定不需要加括弧么

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