小時候想到的一個數學問題，現在還沒有想明白，可能以後會越來越不明白，有哪位大牛可以幫我解答嗎？

01-21

兩個正常人a和b，在無干擾的房間里對話，a對b說出一句話c，如此完成了一次「面對面事件」（名字不太會起，將就吧）
一次面對面事件包含以下一系列任意多的信息，仍以剛才的a和b為例，
a說了c，且a知道自己說了c ～～定義為事件1；
b知道事件1 ～～定義為事件2；
a知道事件2 ～～定義為事件3；

b知道事件3 ～～定義為事件4；
……
如此推至無窮，a知道任意多的奇數號事件，b知道任意多的偶數號事件，則定義此次交涉為「面對面事件」。（當然，答友請不要鑽牛角尖，說a的話太長記不住，b心不在焉沒聽見，或是兩人所在的房間太大超過一光年什麼的）
然後，考慮另一種情況，a和b兩人互發簡訊，且簡訊有一定幾率會發送失敗，如果失敗，發信人並不會知道，而收信人收不到信息。此種事件定義為「風險信息事件」（風險有多大和我們討論的問題無關）。
仍然是a對b發出消息c，b收到之後，則向a回復消息，表示收到消息；a收到之後，也回復一條表示收到，則形成如下程序：
a向b發出c ～～風險信息事件1；
b回信息表示收到c ～～風險信息事件2；
a回消息表示獲悉風險事件2 ～～風險信息事件3；
b回消息表示獲悉風險事件3 ～～風險信息事件4；
……

那麼問題是，兩人在互發多少條簡訊之後，可以達到「面對面事件」的效果？
顯然，兩人如果如此互發了100條簡訊，那麼兩人對於一開始c信息這件事，必然會了解得和「面對面事件」一樣通透。而如果真是如此，因為第100條簡訊存在發送不到的可能性，所以b其實不發這條簡訊也可以，不影響已經傳達了「面對面事件」同樣多的信息這一事實。如果第100條簡訊真的不發，那麼a就無從知道自己第99條簡訊是否到達，實際上第99條簡訊也有發送失敗的風險，也就是說，第99條簡訊發送成功與否，並不影響；以此類推，可以推出其實一條信息都可以不發，這顯然是錯的。
那麼，到底是風險信息事件永遠無法構成面對面事件的信息呢，還是在某一條風險信息開始，就擁有了和面對面事件同樣多的信息呢？

能自己把信封博弈琢磨出來，只能說題主絕對是天才。這是博弈論里核心概念之一，叫共同知識。上學期做本科博弈論助教時恰好就這個知識點為課程寫過補充講義，就借來答題了。略長，而且大多是口語表述，不嚴格，證明也基本全部省略。如果有進一步需求可以到腳註和參考文獻里找。其中許多材料來自 @長澤雅美和@阿虎，他們在EGT方面有專業知識，表示感謝！似乎CS領域關心這一問題知友很多，特地推薦Halpern和Moses文章Knowledge and Common Knowledge in a Distributed Environment，有很不錯的介紹。如果是經濟學方面知友，推薦Maschler，Solan和Zamir教材Game Theory第九章，也很不錯。進階和休閑讀物請參見正文最後一段。最後，再次表達對題主的崇拜，很厲害！

大家可能記得一道智力題：一座小島上有很多戶人家，每一家養了一條狗，其中有些狗是瘋狗。每一家人都能看到別人家狗的狀況，但不知道自己家狗的狀況，也不會與其它人家交流。假設如果有一戶人家知道自己家養的是瘋狗，那就要在當天晚上把狗打死。由於每戶人家都不了解自己的情形，所以一開始不會有人家打死自己的狗。現在，從外面的世界來了一位旅行者，他/她當著全村人民的面說：「這個村子裡有瘋狗。」接下來的情況很有意思，假設村民都相信這句話，都是理性的，每天做一次判斷。那麼，如果原來村子裡有 $N$ 條瘋狗，那麼這些瘋狗會在第 $N$ 天晚上被一起打死。

大致分析如下：如果村裡只有一條瘋狗，那麼，瘋狗的主人將馬上意識到自己的狗瘋了，並且將狗打死。如果村裡有兩條瘋狗，每一瘋狗的主人都可以看到島上還有一條瘋狗。所以第一天晚上無事發生。但是，在第二天，瘋狗的主人會意識到：另外一條瘋狗的主人也知道村裡至少有一條瘋狗，而他/她沒有選擇打死自己的狗，這說明村裡至少還有一條瘋狗。由於村裡只有兩條瘋狗，所以其它的狗都是正常的，所以可以推出最後，兩條瘋狗將在第2天晚上被一起打死。類似的分析可以容易地推廣到更大的 $N$ 。

解這道題關鍵就在共同知識。以 $N=2$ 為例，在旅客到來之前，每個人都知道島上有瘋狗，因為每個人都至少可以看見一條瘋狗，但沒有人行動，因為每個人都不知道其他人是否知道島上有瘋狗。旅客到來之後，由於宣告當著所有人的面做出，每個人都看到其他人聽到了宣告，這意味著他們知道其他人知道島上有瘋狗，也知道其他人知道自己知道其他人知道島上有瘋狗，依此類推。也即「島上有瘋狗」這一命題已經成為了公共知識。當 $N=2$ 時，我們需要用到第2層知識，當我們面對的是一般的 $N$ 時，我們需要用到第 $N$ 層知識。

類似題目非常多，以下再列舉兩道，其中都滲透了共同知識的思想[1]。一排學生，有的戴白帽子，有的戴紅帽子，此時老師來一句，你們中有人戴了白帽子，是否每個學生都能猜出自己所戴帽子的顏色？另一個謎題是：兩個兒子預期父親會把數量為 $10^x$ 的錢裝在兩個信封里，一人得到一個， $x$ 取值在1到6之間。現在他們打開信封，一個發現裡面有10000元，一個發現裡面有100000元，他們彼此不知道金錢數額。現在，父親分別問他們：你願意出1塊錢來換對方手裡的信封嗎？毫無疑問，第一輪兩個人都願意換。如果父親接下來一直問這個問題，大家可以想想，他們會一直願意換嗎？如果不是，哪一輪會開始出現否定答案？

我們接下來再給出一個更令人震驚的例子，即是樓主的問題，來自Rubinstein（1989）。

假設有兩個將軍，分別是A和B，要向敵方部隊發起進攻（也可以想像成是兩支基金要對一種主權貨幣發起進攻，等等），兩軍分駐兩地，面對兩支對方部隊。對方兵力的分布有兩種可能，如果判斷錯誤，攻擊會沒有效果。同時，由於己方兵力不足，必須要同時發起攻擊，否則會損兵折將。A將軍知道敵方兵力的分布，而B將軍只有一個先驗概率。這意味著我們面對一個如下圖所示的博弈，其中，第一行代表策略A進攻a，第二行代表A進攻b，第一列代表B進攻a，第二列代表B進攻b。每一格中第一個數字是A將軍將獲得的效用，第二個數字是B將軍將獲得的效用。

現在，為了取得最好的進攻效果，將軍A需要把敵方主力在a這一點告訴將軍B，由於那時還沒有電話，他只能派出一個通信兵。通信兵在抵達將軍B的駐地之後，會將敵方信息告知B。B會向通信兵說明自己已經知道了這個信息，並將這個信息返回給A，依此類推。由於通信兵在中途可能被敵方抓到，所以每次傳遞的信息都有 $varepsilon>0$ 的可能無法順利到達對方。為弄明白這意味著什麼，我們先回憶一下前面提到的共同知識這個概念。如果將軍A、B都知道對方駐地，並且他們都知道對方知道對方駐地，他們都知道對方知道自己知道對方知道對方駐地，依此類推，我們就稱地方駐地在a這一點是A和B之間的共同知識。在博弈的一開始，敵方兵力在b這一點只是A的私人知識，B根本就不知道。如果通信兵已經完成了從A到B的旅行，那麼這一點就成為A和B的共有知識，A知道，B知道，但A不知道B知道。當通信兵又從B返回A時，此時A確知B已經知道了這一點，但B並不知道A是否知道自己已經知道了。因此，只有讓通信兵在兩個地方之間跑無限趟，我們才能把這個知識變為共同知識。

如果敵方駐地真是共同知識，那麼，兩位將軍之間可以很容易地達成協調，但現在並非如此。因為通信兵每次旅行都有一個正概率被俘獲，所以他/她能夠順利旅行無數次的可能性收斂到0，這意味著「敵方駐地為a」這一點以概率1不是共同知識。Rubinstein證明了下列命題：這個博弈唯一的納什均衡是雙方都不進攻，協調失敗[2]。這實際上說明：任意階的共有知識都不能完全替代共同知識。共同知識在很多時候是嚴格緊的要求，不能再放鬆，否則就有可能出現類似郵件博弈的情形。

為了嚴格處理共同知識，我們需要先定義知識。為定義知識，我們需要先定義我們的認知世界，這一貢獻來自哲學家Hintikka。博弈論的發展和哲學，尤其是分析哲學的發展密不可分，以後我們會越來越多地看到這一點。在Hintikka的模型中，人的認知可以用下面的二元組 $(Omega ,P)$ [3]
來描述，其中， $Omega$ 是世界所有可能狀態的集合，P是認知函數，是從 $omega in Omega$ 到 $2^{Omega }$ 的映射，它把每一個世界的真實狀態映射成世界全體狀態的一個子集。我們可以直觀方式來理解這個模型。假設現在世界狀態集合中有以下元素：A食品是轉基因，A食品是非轉基因，A食品對身體無害，A食品對身體有害。當狀態「A食品是轉基因」出現時，一位生物科學家的P會映射出子集｛A食品是轉基因，A食品對身體無害｝，而一位反轉派的P則會映射出子集｛A食品是轉基因，A食品對身體有害｝。有可能還有一類人比較「糊塗」。他們對轉基因一無所知，甚至根本沒聽過，那就談不上了解了。由於沒有任何信息，此時他/她的P會映射出｛A食品是轉基因，A食品對身體無害，A食品對身體有害｝，他/她無法排除任何一種可能。

我們不可能對 $(Omega ,P)$ 不做任何限制，這不僅違反直觀，也導致我們無法做任何推斷。以下三個公理是必須的，部分學者也用這幾個公理來定義理性。

公理1意味著無論世界真實狀態為何，人總是不會愚蠢到將真實狀態排除出自己的認知。也可以解釋成，人可以被迷惑，但不會荒唐到完全不顧真實。同時，這個公理也意味著對 $forall omega in Omega ,P(omega ) e emptyset$ 。公理2和3稍微有些抽象，我們可以做直觀一些的理解。考慮公理2，如果世界的真實狀態是 $omega$ ，但人無法區分開 $omega$ 和 $omega^{$ ，這意味著 $P(omega)$ 必須包含了如果世界狀態是 $omega^{$ 時所有可能的認知。如果不是這樣，假設 $P(omega^{$ 中有一個元素不屬於 $P(omega)$ ，那一旦 $omega^{$ 出現，我們應當能夠區分 $P(omega)$ 和 $P(omega^{$ ，因為後者中至少有一個元素在前者中找不到。既然 $P(omega)$ 和 $P(omega^{$ 可以被區分開，自然 $omega$ 和 $omega^{$ 也可以被區分開。運用類似的想法我們可以說明公理3的合理性，而將公理2以及公理3合併，我們可以得到以下結論：如果 $omega^{$ 。

Hintikka模型的威力在於我們可以通過劃定一組分割來說明人的知識結構，也即下列命題成立： $(Omega ,P)$ 滿足公理1-3當且僅當 $Omega$ 被劃分成一些彼此不相交的子集，這些子集的並構成 $Omega$ ，同時對於 $forall omega in Omega$ ， $P(omega)$ 等於劃分中 $omega$ 從屬的子集。充分性是顯然的，為說明必要性，只需要注意到如果 $omega^{$ ， $P(omega^{$ 給出了一組等價關係[4]。於是，我們下面用劃分來指代個體的認知結構。

我們現在可以定義知識。需要說明的一點是，我們迄今為止仍沒有為知識/知道給出一個令大部分人滿意的解釋，因此，我們使用的模型只是一些可能說明「知識是什麼」的模型中的一種，並非最終的答案。亞里士多德提出了知識的JTB準則：知識是被證成的真信念（Justified True Belief，簡稱JTB。此處的證成可以理解為「有力地辯護」，但具體何為證成仍是甚為複雜的問題，至今仍是分析哲學研究的問題）。以物理學為例，在LIGO探測突破之前，我們相信引力波存在，這是信念。我們有相對論做支持，這是證成。現在，我們又實際探測到了引力波，於是這是真的，引力波在JTB準則下成為了知識。在2000多年的時間裡，亞里士多德的理論一直被奉為圭臬。但是，蓋梯爾在1963年提出了一個著名的反例，也叫做蓋梯爾問題。想像一個人計劃燒掉一個穀倉，他/她認為只需要一根火柴就可以做到這一點，於是點燃了火柴。穀倉確實被燒掉了，但僅憑火柴未必是足夠的，因為當時穀倉的角落還有幾大桶汽油。這個例子滿足JTB中的所有要素，但這個人擁有的真是知識嗎？還是只是碰對運氣的信念？這個問題迄今為止仍未完全解決。類似的情景在生活中經常出現，想像一位欣喜赴約的女孩，到達約定地點時發現男孩早已在哪兒等待，她由此推斷出男孩兒非常在乎她。這是個信念，也確實是真的，男孩兒確實在乎她，但男孩早到其實是因為他記錯了時間。這時信念也滿足JTB，但這真是知識嗎？我們並不清楚。我們只能先假設一些比較合理的公理，然後在此基礎上發展理論。

前面提到，我們可以證明：理性三公理意味著我們總是可以把包含世界全體狀態的集合 $Omega$ 劃分成一些互不相交但合為全集的子集。在此基礎上，我們正式闡述何謂知識。假設世界全體狀態集合為 $Omega$ ，世界中有 $N$ 個個體。我們定義事件為世界全體狀態集合 $Omega$ 的一個子集 $Xsubseteq Omega$ 。我們同時定義個體 $i$ 在狀態 $omega$ 下知道事件 $X$ 當且僅當 $P(omega) subseteq X$ 。如果每個人都是理性的，則每人可對應到 $Omega$ 的一種劃分。我們將第 $i$ 個個體劃分記為 $mathcal{F}_{i}$ [5]，記其中子集為 $F_{i} subseteq mathcal{F}_{i}$ ，這定義了第 $i$ 個個體的認知結構，則以上定義也可重寫為 $F_{i}:omega in F_{i}$ ， $F_{i} subseteq X$ 。於是我們定義了知道運算元 $K$ ，這是從 $2^{Omega}$ 到 $2^{Omega}$ 的一個映射[6]。利用定義 $F_{i}:omega in F_{i}$ ， $F_{i} subseteq X$ ，我們可定義 $K_{i}$ ， $K_{i}X$ 意味著 $i$ 知道 $X$ ，這同時意味著 $X$ 是 $i$ 的知識。

這個定義相當抽象，讓我們再舉一個例子來闡明這樣建模道理何在。想像一位正在規劃未來人生的青年，他所面臨的全集包含以下元素｛語文好，數學好，英語好，適合研究文學，適合研究歷史，適合研究物理，適合研究經濟學｝。現在取 $omega=$ 數學好，如果是一個人生規劃非常明確的青年，那他的 $P(omega)$ 應該很小，比如說 $P($ 數學好 $)=$ {適合研究物理}。如果對未來感覺非常迷茫或者不確定，那這個 $P(omega)$ 就會很大，比如說 $P($ 數學好 $)=$ {適合研究物理，適合研究經濟學}。當然，也有可能他/她腦子裡只有一團漿糊，對未來完全沒有願景，此時集合根本沒有劃分，所有的元素都混在一起。給定理性三公理，我們可以定義精細劃分和粗糙劃分的概念。面對同樣的世界狀態 $omega$ ，精細劃分中包含 $omega$ 的集合 $F_i$ 相對較小，粗糙劃分中對應的集合 $F_{i}^{$ 更大，即有 $Card(F_i)leq Card(F_{i}^{$ 。又由於每一個體都是理性的，所以實際上我們有 $F_i subseteq F_{i}^{$ 。這意味著雖然每個人的知識水平不同，有的掌握得更清晰，有的掌握得更糊塗，但他們都不會糟糕到弄錯世界狀態 $omega$ ，只是在對應的劃分精細程度上有區別。同樣是蜘蛛，有的人知道這是動物，有的人知道這是節肢動物，有的人能精確到節肢動物門蛛形綱。能夠把世界看得更細，意味著知識更深入，也意味著集合劃分的精細程度可以刻畫知識水平。在更加抽象的意義上，對於任何一個問題，我們都可以划出是和否兩種狀態。如果一個人知道這一問題，這意味著他/她能夠把這兩個元素分開，划到不同的子集中；如果他/她不知道，這兩個元素就劃不開[7]。

假設現在已經有了一個劃分 $mathcal{F}_i$ ，我們可能會疑惑為何如此定義知識運算元 $K_i$ ，背後的意義是什麼？首先我們注意到一點：既然 $mathcal{F}_i$ 是一個劃分，這意味著其中的每個集合都不交。又因為每一划分都對應於認知函數 $P(omega)$ ，所以個體可以完美地區分兩個 $F_i$ 分。注意到我們定義 $i$ 在狀態 $omega$ 下知道 $X$ 為 $F_i:omega in F_i$ ， $F_i subseteq X$ ，這意味著只要世界狀態確實是 $omega$ ，事件 $X$ 必定會實現，必定一詞由集合的包含關係保障。舉一例子，假如世界狀態是 $omega=$ 我很快樂， $P(omega)=$ ｛我很快樂，我很興奮，我很感動｝，這就意味著我自己區分不出這三種狀態。我們再定義兩個集合，一個是我心情很好，包含四個元素：我很快樂、我很興奮、我很虔誠、我很感動。另一個是我情緒很激動，包含我很快樂、我很興奮、我很激動、我很生氣。那麼，在狀態 $omega=$ 我很快樂的情況下，我是知道自己心情很好的。因為可能和快樂混淆的另外三種情感都包含在心情很好這一事件中；但我不知道我是否情緒激動，因為在狀態 $omega$ 下，我也有可能是感動，而這並不包含在情緒激動這個事件中。所謂知識，就是再怎麼錯，這個事也是這個理兒的意思。我們有時候可能在蜘蛛是不是昆蟲上犯迷糊，這是在兩個綱之間發生了混淆，但我們肯定知道蜘蛛屬於節肢動物門。因此，我們可以說我們 $K$ 「蜘蛛屬於節肢動物門」，這是對的，但不能說我們 $K$ 「蜘蛛屬於節肢動物門蛛形綱」，因為我們可能會把蜘蛛和昆蟲搞混。

注意到運算元 $K$ 把 $Omega$ 的一個子集映成另一個子集，因此我們可以作高階知識的定義。 $K_jK_iX$ 就意味著 $j$ 知道 $i$ 知道 $X$ ，依此類推。這就把我們嘴巴上說的知道用集合論的語言嚴格地表達了出來。可以證明知識運算元具有下面6個性質。這些性質和理性的定義一脈相承。其中第2點對應注8[8]。

這些性質的證明都不困難，直接驗證即可。需要特別說明的是，把第六點拿掉，前五點本身也可構成知識的定義（第六點本身也只是個推論）。這一貢獻來自天才的分析哲學家Kripke，也叫做Kripke S5系統。這個系統和我們前面定義的知識運算元等價：我們既可以驗證知識運算元滿足這5個命題；也可以證明這5個命題能夠誘導出一個映射，其形式恰好就是我們前面定義的知識運算元[9]。從直觀上來說，這五個命題分別有各自現實意義。第一點意味著個體知道世界的全體狀態是 $Omega$ 。第二點意味著如果一個人知道 $X$ ，那麼 $X$ 會實現，因為其中包含了世界的真實狀態 $omega$ ，這也可以通俗地理解為「知識是真的」。第三點意味著如果一個人同時知道事件 $X$ 和事件 $Y$ ，那他/她也會知道事件 $Xcap Y$ 。第四點意味著如果一個人知道 $X$ ，那他/她也知道自己知道 $X$ 。第五點意味著如果一個人不知道 $X$ ，那麼他/她知道自己不知道 $X$ 。這五個公理共同規範了我們觀念中的知識概念，同時誘導出了一個定義在 $2^Omega$ 上的知識運算元。而第六點性質則意味著如果 $Y$ 已知，所有為 $Y$ 蘊含的事實也是知識。

我們接下來介紹無窮階次知識這一概念。前述記號保持不變， $N$ 個個體，事件 $X$ ，第個個體記為 $i$ 。我們首先逐個詢問 $N$ 個個體：你知道 $X$ 嗎？如果知道，記下 $K_iX$ ；如果不知道，記下 $(k_iX)^c$ 。我們接下來再從第一個個體開始，詢問他/她 $N$ 個問題：你知道 $i$ 知道/不知道 $X$ 嗎？如果回答知道，我們記下 $K_1K_iX$ ，如果回答不知道，我們記下 $(K_1K_iX)^c$ ，依此類推。在第二層詢問中，我們可以記下 $N^2$ 個答案。同樣的詢問可以繼續進行下去，比如說，我們可以問第2個人：你知道第4個人知道第5個人知道第3個人知道 $X$ 嗎？把這樣的答案一層層一層層地壘起來，我們就得到了無窮階次的知識。從這裡可以很自然地得到共同知識比較嚴格的定義。保持以上記號，則我們稱 $X$ 是世界狀態 $omega$ 下的共同知識，當且僅當對任意有限長序列 $i_1i_2i_3...i_l$ ， $omega in K_{i_1}K_{i_2}K_{i_3}...K_{i_l}X$ 。這意味著， $X$ 是共同知識，當且僅當有關 $X$ 的問題在無窮階次知識的每一層都得到肯定的回答。這個定義初看起來和我們平時談論的形式沒有任何區別，但它已經算是嚴格表述了。Aumann證明了共同知識可以由如下條件得到判定：記 $mathcal{F}$ 是所有參與者中最粗糙劃分，即 $mathcal{F}=mathcal{F}_1wedge mathcal{F}_2 wedge mathcal{F}_3 wedge...wedgemathcal{F}_N$ ，那麼 $X$ 是世界狀態 $omega$ 下的共同知識的充要條件是 $mathcal{F}(omega) subseteq X$ [10]。

Aumann的定理可以按如下方法直觀理解： $mathcal{F}$ 是所有劃分中最粗糙的，也就是說在每個世界狀態 $omega$ 下， $mathcal{F}$ 都會給出在這個狀態下最糊塗的人的判斷。如果糊塗到 $mathcal{F}$ 這個程度還能知道 $X$ ，這就意味著所有人都應該知道 $X$ 。又因為所有人都知道 $mathcal{F}$ 是最糊塗的，或者說是最笨的，集中了所有最糊塗的判斷，所以他們也應該知道其他人也能夠知道 $X$ ，如此推斷下去即可以構造符合要求的無窮階次知識。除了Aumann的方法，我們還可以用Milgrom的方法來定義共同知識。Milgrom的方法和我們前面理解知識的方法是一致的：公理化。記「在狀態 $omega$ 下 $X$ 是共同知識」這一事實為 $CK_X$ ，我們有下列四條公理。

第一條公理意味著共同知識能夠實現，第二條公理意味著如果 $X$ 是共同知識，那麼所有人都知道 $X$ 是共同知識。反覆運用這兩條公理可以直接得到共同知識的直觀含義。假設 $X$ 實現了，根據公理2，假如 $X$ 是個共同知識，那麼所有人都應該知道 $X$ 是個共同知識，而這又意味著「所有人都知道 $X$ 是個共同知識」這個事實的實現，運用公理1可知這也應該是個共同知識，於是再次運用公理2可以得到「所有人都知道所有人都知道 $X$ 是個共同知識」這一事實，依次類推即可得到無窮階次的性質。第三條性質意味著如果 $Y$ 是共同知識，那麼所有可以從 $Y$ 推出來的命題也應該是共同知識。第四條性質則意味著在全體參與者面前發生的事情是公共知識。像我們一開始提到的瘋狗謎題，其中旅行者在人們面前喊出的「島上有瘋狗」這個事實滿足公理4，所以就是共同知識。這裡的「在全體參與者面前發生」也未必要是真正的面對面。一個微信群、一篇文章的評論區或者一個BBS，上面的內容對於全體參與者來說都是共同知識。Milgrom進一步證明了：這四個公理可誘導出唯一的共同知識運算元，且這個運算元恰好就是Aumann給出的 $F(omega) subseteq X$ [11]。

最後，我們簡單敘述在有限參與者的靜態博弈中構成納什均衡的知識條件。所謂知識條件，指的是為了使得納什均衡實際上被執行，能被玩出來，博弈參與者需要知道些什麼。在兩人博弈中，如果雙方都知道（這裡的知道可以形式化成運算元）對方的支付函數、對方的策略集以及對方是理性的，並且知道對方對自己行為的猜測，那麼他們彼此的猜測構成一個納什均衡。在三人或更多參與者的博弈中，我們要求參與者都知道彼此的支付函數、策略集以及彼此都是理性的，且每個人對其他人策略的猜測都是共同知識。以上兩個條件都是充分但不必要的，不滿足這些條件也有可能形成納什均衡。但它們都是緊的，每一點放鬆都會造成反例[12]。動態完全信息博弈中的知識條件由Battigalli和Siniscalchi給出，但這已經超出了課程範圍[13]。動態博弈中更多相關結果可在Perea的教科書Rationality in Extensive Form Games中找到。

如果對博弈論的這個分支，博弈論的知識理論（Epistemological Game Theory，EGT）感興趣，希望挖掘更加深入的知識， Perea的教科書Epistemic Game Theory: Reasoning and Choice是不錯的選擇。另一本很困難的讀物是Brandenburger的The Language of Game Theory: Putting Epistemics into the Mathematics of Games，是領域內經典論文集。此外，共同知識本身也可以用來分析很多生活中的現象，這方面一本非常出色的著作來自Michael Suk-Young Chwe，一位著名的韓裔理論經濟學家。他寫作的Rational Ritual: Culture, Coordination, and Common Knowledge旁徵博引，用共同知識分析了許多不同領域的問題，比如非洲的聚會民俗、美國南方的舞會、法國大革命中的儀式、超級碗的中場廣告，以及休謨的環形監獄，等等。這是直觀了解共同知識的很好的途徑。

註解：

[1]這兩個例子都來自Geanakoplos（1992）。謎題的完整表述以及嚴格解法均可在原文中找到。如果對講義中命題或具體闡述有進一步的興趣，可以在腳註中找到相應信息。

[2]如果對證明有興趣，請參見Rubinstein（1989）。

[3]我們此處假設 $Omega$ 是有限集合。當 $Omega$ 是無限集時， $2^Omega$ 的結構可能會非常複雜，需要添加更多限制。

[4]如果對完整證明有興趣，請參見Rubinstein（1998）書中命題3.1的證明。

[5]這是集合的集合。當後面我們提及精細/粗糙的概念時，我們實際上是在討論一個域流。當 $Omega$ 很複雜時，討論 $mathcal{F}$ 也是很困難的。

[6]這個知識運算元本身的「有效性」和「合理性」等討論已經屬於分析哲學/數理邏輯的範疇。如果有興趣，可以參見Kripke（1959）。

[7]這種說法是非正式的。如果允許和各種性質相聯繫的集合，我們就得到了所謂的「萬有公理」。如果我們還承認其它一些公理，這將導出悖論。一個非正式的討論見《陶哲軒實分析》3.2。

[8]關於這一公理長期以來一直存在爭議，分析哲學家已經構造出了一些反常的例子。在目前使用的模型中，如果把這一公理拿掉，剩下的4條公理構成S4系統，這構成信念的定義。基於信念我們同樣可以構造無窮階次的共識。假設 $Omega$ 是可數的完備可分度量空間，且 $Delta Omega$ 是 $Omega$ 上Borel集生成的 $sigma$ 域中賦有弱收斂拓撲的全體概率測度，我們可以將信念層次寫成以下形式：令 $X_1=Delta Omega$ 代表博弈參與者對世界狀態的信念，則 $X_2=Delta(X_1 imes Omega)$ 代表了對信念的信念， $X_{i+1}=Delta(X_i imes Omega)$ 代表對上一階信念的信念， $prod_{ imes }^{infty}X$ 就構成了一個無窮階次的信念空間。 $prod_{ imes }^{infty}X$ 需要滿足一致性，亦即由高階信念誘導出的分布（邊緣分布）與低階信念一致。Brandenburger和Dekel證明了這樣的信念空間是存在的，並且，令 $delta_i in X_i$ ，我們總是可以構造出一個向量 $delta$ 作為參與者的type，且全體滿足一致性的 $delta$ 構成的空間 $T$ 與 $Delta Omega imes T$ 微分同胚。這意味著type完整地反映了全體可能的信念。當 $Omega$ 是不可數集合時，我們需要一個空狀態才能實現這一點，同時全體參與者的劃分集合都應該是可測集，此時知道也被定義為「賦予概率1」。Heifetz和Samet證明了這樣一個滿足一致性的無窮階次的知識空間是不存在的。

[9]如果對證明有興趣，可以參考Maschler，Solan和Zamir（2013），這是習題9.2。有興趣的可以在這本書的末尾得到簡單的提示。

[10]如果對證明有興趣，請參見Aumann（1976）。

[11]如果對證明有興趣，請參見Milgrom（1981）。

[12]如果對證明和相應的反例有興趣，請參見Aumann和Brandenburger（1995）。在這篇論文中，他們將混合策略理解為對對手策略集的猜測。此外，得到多人情形中的相關命題需要Harsanyi的共同先驗假設（又稱一致性假設），對這一假設的嚴格討論很複雜，如果有興趣，請參見Morris（1995）。

[13]如果對結論和證明有興趣，請參見Battigalli和Siniscalchi（2002）。

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樓主提的問題很好。在博弈論中，共有知識（Mutual Knowledge）和公共知識（Common Knowledge）是不同的。簡單的介紹可以參見這個問題中目前最高票的回答，一個關於數學歸納法的悖論問題：到底是第 N 天有 N 個紅眼睛自殺，還是什麼都不會發生？ - 邏輯。

具體到題主這個問題中，Ariel Rubinstein (1989) 發表的The Electronic Mail Game: Strategic Behavior Under "Almost Common Knowledge" 中恰好談及的就是這一問題，發現任意有限階的共有知識（almost common knowledge）都與公共知識不同，表現為博弈過程中參與者的決策在兩種狀態下是不一樣的。

到這裡似乎問題就已經結束了，但是這是一個很弔詭的情況，在現實生活中並沒有出現兩個人反覆不斷地確認狀態以至於無法進行任何工作，也就是說現實中的協調博弈並非總是無法達到一個協調狀態的。分別在Binmore and Samuelson (2001), Coordinated Action in the Electronic Mail Game; Kris De Jaegher (2008), Efficient communication in the electronic mail game; Nicola Dimitri (2004), Efficiency and equilibrium in the electronic mail game: the general case中提出了各種不同的框架去解釋，協調博弈中的協調狀態如何可能達成。

題主若真是自己小時候想出來的，那簡直太逆天了…

題主定義的「面對面事件」，博弈論中叫common knowledge。題主提的問題：要互傳幾次「風險信息」才能達到「面對面事件」的效果？簡要回答是：無論互傳幾次都無法達到「面對面事件」的效果。

最初計算機科學家對此有所研究，這被稱為「coordinated attack problem」（c.f. Halpern, J. Y. (1986), 「Reasoning about Knowledge: An Overview」 )。簡單分析見：http://www.zhihu.com/question/29009853/answer/42997271

博弈論中，Rubinstein E-mail Game也給出相似的回答（c.f.《A Course in Game Theory》Ch 5）

歪個樓，看看工程師和數學家的差異

工程師解決這個問題的方法是，A給B發消息，B給A發確認，A再給B發確認，如果B或者A沒有收到應當收到的確認，就不停重發上一條消息，直到有確認為止。

這樣A發給B，如果收到了B的確認，就能確信事件2發生，B收到A的確認，就能確信事件3，由於相當長一段時間之後A仍然沒有收到B重發的確認，那麼要麼是B已經收到了A的確認，要麼是B之後發送的所有確認都丟了，後一個事件的概率隨時間增長變得越來越小，所以A會認為是B收到了A的確認。而B由於收到了A的確認，不再重發，而且確信由於A不會再收到重發的確認因此得知B已經收到了確認。

隨著時間的增長，整個系統趨向於與公共知識等效。

但是在數學家看來，這樣的做法其實和A和B每次都發100條簡訊，這樣至少有一條能發到沒有多大區別，從數學上來看仍然是不等效的。

這個博弈論概念我也聽說過，我不知道博弈論得出的專業結論是如何，但是從物理的角度來說，一比特就是一比特，信息不會在傳遞過程中自動增加，違背熵增原理；而 common knowledge 似乎包含了無數的信息，直覺上看這是不可能的。所以嚴格來說，我們只可能有有限階的 mutual knowledge。至於通常意義上的 common knowledge，只是一種錯覺。

這裡給出一種物理證明，不保證沒有漏洞：首先，a 和 b 必須在空間上分離的兩點，物理上稱為兩條世界線，不能重合。事件1發生在世界線 a，事件2發生在世界線 b 且必須發生在事件1的未來光錐中，而事件3在世界線 a 且必須發生在事件2的未來光錐中，以此類推。由於光速有限，common knowledge 不可能在有限時間完成。

你女朋友問你：你愛我嗎？

你：我愛你。你知道我愛你嗎？

你女朋友：我知道你愛我。你知道我知道你愛我嗎？

你：我知道你知道我愛你。你知道我知道你知道我愛你嗎？

……

所以從博弈論的角度上說，分手是一定發生的。如果兩人非常恩愛，那一定是因為蠢（大霧

例1：

A：今晚8點去xx電影院看美隊吧

B：吼啊

交流成功

例2：

A：今晚8點去xx電影院看美隊吧(發送失敗)

A：今晚8點去xx電影院看美隊吧，你咋不回呢(發送失敗)

交流失敗

例3：

A：今晚8點去xx電影院看美隊吧，我得買票不然沒座

B：我爺爺生病了(發送失敗)

A買了兩張票

交流失敗

例4

A：今晚8點去xx電影院看美隊吧

B：我爺爺生病了

A：那算了

B：老毛病了，一下子就好，走，看電影去(發送失敗)

B：人呢(發送失敗)

交流失敗

在有限的時間內，交流失敗的概率大於0，所以不可能達到面對面事件的效果。越是複雜的決策，交流失敗的概率也就越大。

從發簡訊開始說起。

A給B發送了一條信息：「明天下午13：30見面。」（假設成功）

B給A回復到：「我知道了你發的消息：『明天下午13：30見面『「（假設成功）

A回復到：「我知道了你發的消息：『我知道了你發的消息：『明天下午13：30見面『『「（假設成功）

B停止了回復。

A猜測：」我發的消息（「我知道了你發的消息：『我知道了你發的消息：『明天下午13：30見面『『「）可能發送失敗，那麼B就懷疑他發的消息（「我知道了你發的消息：『明天下午13：30見面『「)發送失敗。結果就是：B不去見面。"
需要注意的是，以上劃線部分都屬於A的心理活動或者叫做A的主觀信息。題主的疑問就是雙方的主觀信息經過無限次的交流能否達成一種面對面交流或者共同知識。通過以上分析，我們得到的答案是：一個大寫的NO。
那麼問題來了，我們生活中是如何進行信息傳遞的呢？

A：老婆，今天下午15：30我們去吃火鍋吧
B：好啊，老公，摸摸大
A：拜，木啊
B：拜（笑臉）

這個交流如此簡單。我們從生活常識來看，這是一個成功的交流。但我要告訴你，這並非那麼簡單，而且這背後是有原因的。

分析如下：

假設B是個傻傻的機器。那麼此刻B還在等著A的響應。但是很明顯A沒有再回應。這時B的「心理」就有了以下活動：

B：他怎麼不回復我？難道我發送失敗了？如果我發送失敗了（指的『拜（笑臉）』），那他就有可能以為我接收不到他的信息了（指的『拜，木啊』），所以他可能會認為他發送失敗了（指的『拜，木啊』）。然後，他會認為我覺得我的消息『好啊，老公，摸摸大』發送失敗了，再然後，他會認為我覺得他沒有接收到『好啊，老公，摸摸大』這條信息。所以，交流失敗啦。啊啊啊啊啊啊

以上劃線部分是B的主觀知識。

但是現實生活中，我們不可能這樣。那是因為我們默認了很多的規則，這已經是我們共同的知識了。例如，兩次『拜拜』之後就不再交流等。還有一些其他的限制性因素，最重要的就是智力因素。

如果我們非得像那個機器一樣嚴格的思考問題，對於簡單的信息交流，我們都好像出現了智力障礙，何況非常複雜的信息交流呢？智力因素的介入直接導致了一個抽象的存在：信任。假設我們無窮聰明，信任就沒有存在的理由了，因為我們可以輕而易舉地識破和看透各種謊言和真相。當然，無窮聰明的背後代價大的致命，假設我們真的無窮聰明，那麼我們所需的能量補給是駭人的。這並不利於生存。

這個其實是計算機中的一致性問題，回答中也有人提到了兩將軍問題（Two Generals" Problem），兩將軍問題是拜占庭將軍問題（Byzantine fault tolerance）的一個特殊場景。

兩將軍問題的場景和你的例子非常像，也就是說如果只通過通信，雙方如何能對約定某個時間發起戰役達成一致（考慮到中途傳令兵會被敵人攔截的狀況）？看到得票最高的 @Manolo 答案中也描述了這個問題，這裡就不詳細描述了。

計算機協議（比如TCP）中解決這個問題的方案一般是通過重試機制。也就是說，由發送方維護狀態，接受方收到消息後發送確認，即可認為達成一致了。發送方如果發現沒有收到確認消息，則會反覆重試，直到收到接收方的確認，才認為達成一致。這個過程中有可能導致接收方收到重複消息，所以需要接收方做排重機制。這個方案下，發送方的狀態是可信狀態。但有沒有既可以避免重複消息，又可以避免丟消息的方案呢？這個已經被證明了不可能（Single-Message Communication http://ieeexplore.ieee.org/document/1093283/?reload=truearnumber=1093283 ）。

還有一種方法是通過和消息內容配合來實現，比如消息中都帶一個編號，編號是嚴格有序遞增的，當接受放發現新收到的消息和以前接受過的消息的編號不連續，就說明丟消息了，需要請求發送方重發。這個方案下，接收方的狀態是可信狀態，雖然有可能不一致，但只要一直有新消息，就能實現最終一致性。

拜占庭將軍問題的場景比兩將軍問題更複雜，是多個將軍，有通訊中斷，有欺騙（投降敵人了），的情況下，如何達成一致性的問題。

為了解決這個問題，計算機行業發明了兩個演算法 Paxos (computer science) ，和 Raft (computer science) ，這兩個協議是解決可信環境下的多個節點如何達成一致的演算法，把拜占庭將軍的問題簡化了下，忽略了欺騙的情況。具體協議的流程這裡就不描述了。

最後，近兩年很火的比特幣區塊鏈（Blockchain (database)）技術，可以認為是考慮到有欺騙的情況下的拜占庭將軍問題的一種解法。因為比特幣是一種無中心的系統，肯定要考慮有人做惡的情況。

子非魚安知魚之樂，

子非我安知我不知魚之樂，

子非我安知我不知子不知魚之樂，

子非我安知我不知子不知我不知魚之樂…………

計算機網路有個基本概念叫三次握手

在題主這裡就是

a說了c且自己知道

b知道a說了c

a知道b知道a說了c

鏈接就已經建立了

後面的

b知道a知道b知道a說了c

a知道b知道a知道b知道a說了c

等等等等

這些信息是冗餘和無效的

計算機的解決方法是加入ack欄位，每次獲取信息前先驗證，以確保對方收到信息

在我看來也屬於以空間換時間的解決思路之一

這似乎跟這個差不多呀

Two Generals" Problem

結論應該是兩者本質不同，沒法通過單向的、回合式的溝通創建public knowledge.

永遠無法。

這一博弈問題的實踐之一，就是告訴我們，在大型多人在線遊戲中乃至未來的腦機介面，甚至哪怕實現了零延遲的超光速通訊，真實反饋永遠都只能接近，不能達到，不針對這一漏洞，設置安全機制的遊戲和軟體都是危險的。

這不就是網路上的三次握手嗎？一般來說，一來一去再一來就足以保證溝通了。

另外這博弈學上是公共知識和私人知識的區別，這個是前提假設，博弈論上反而不會討論這個問題

建議找點計算機網路的書，信息經濟學的書和博弈論的書看一看就明白了。一般來說，一來一去再一來就可以保證了，

保證a知道b知道了，b知道a知道b也知道就可以了。其他的都是昻余

這麼說吧，你永遠都不能完全確認除你自己以外的任何人存在類似你的意識。

吹牛逼我才不信這事是你小時候自己想的。。。

即使是面對面交流，也未必能清楚地傳遞信息，因為你無法確定對方是否理解你所說的。

A：你理解我說的了嗎？

B：我理解了。（同時B會想：你理解我理解了嗎？）

A：好的

這時對於A而言，有兩種情況：一是他理解B理解了，另一種是他以為自己理解B理解了，但其實他不理解。但無論哪種情況，B都無法得知，因為「面對面交流」已經結束了。

所以才才會有各種嚴謹的法律條文，就是用來明確雙方的權利義務，以防止扯皮。

儘管如此，我們還是無法真正理解對方。因為，「知人知面不知心」。

ps：三體人就不會有這樣的問題，因為它們是用思維直接交流的~

我不相信我是唯一一個問題和回答都看不懂的人

這是個好問題。

我在初中時也思考過這個問題，當時是老師給家長發簡訊，家長回復收到。然後我就開始腦洞雙方如果每次都必須確認上一次的消息。那麼要確認幾次之後可以保證雙方都收到呢？

答案是無限次，也就是雙方永遠無法同時確認收到了對方的消息。

這個問題困擾了我很久，終於在上學期的計算機網路課上得到了解答。

事實上，由於雙方永遠無法同時確認對方的消息，所以在TCP協議中，雙方使用三次握手，也就是

A -&> B

B -&> A, ACK

A -&> B, ACK

這三步來建立通信，ACK表示確認對方上一幀。

如果感興趣的話，待會我回去把計算機網路書上的這個經典問題翻出來看。

=================================================

以下內容摘自Computer Networks, Andrew S.Tanenbaum (5th) P518-P520

......It is called the two-army problem. Imagine that a white army is encamped in a valley, as shown in Fig. 6-13. On both of the surrounding hillsides are blue armies. The white army is larger than either of the blue armies alone, but together the blue armies are larger than the white army. If either blue army attacks by itself, it will be defeated, but if the two blue armies attack simultaneously, they will be victorious.

The blue armies want to synchronize their attacks. However, their only communication medium is to send messengers on foot down into the valley, where they might be captured and the message lost (i.e., they have to use an unreliable communication channel). The question is: does a protocol exist that allows the blue armies to win?

Suppose that the commander of blue army #1 sends a message reading: 『『I propose we attack at dawn on March 29. How about it?』』 Now suppose that the message arrives, the commander of blue army #2 agrees, and his reply gets safely back to blue army #1. Will the attack happen? Probably not, because commander #2 does not know if his reply got through. If it did not, blue army #1 will not attack, so it would be foolish for him to charge into battle.

Now let us improve the protocol by making it a three-way handshake. The initiator of the original proposal must acknowledge the response. Assuming no messages are lost, blue army #2 will get the acknowledgement, but the commander of blue army #1 will now hesitate. After all, he does not know if his acknowledgement got through, and if it did not, he knows that blue army #2 will not attack. We could now make a four-way handshake protocol, but that does not help either.

In fact, it can be proven that no protocol exists that works. Suppose that some protocol did exist. Either the last message of the protocol is essential, or it is not. If it is not, we can remove it (and any other unessential messages) until we are left with a protocol in which every message is essential. What happens if the final message does not get through? We just said that it was essential, so if it is lost, the attack does not take place. Since the sender of the final message can never be sure of its arrival, he will not risk attacking. Worse yet, the other blue army knows this, so it will not attack either.

To see the relevance of the two-army problem to releasing connections, rather than to military affairs, just substitute 『『disconnect』』 for 『『attack.』』 If neither side is prepared to disconnect until it is convinced that the other side is prepared to disconnect too, the disconnection will never happen.

重要的文字及結論已經加粗了。

有時間的話，我可以翻譯一下供大家了解。

雖然我博弈論只學過一點皮毛，但是我覺得這個問題可以這樣理解。面對面事件按題主的說法其實是可以推導出無窮無盡的信息的，a告訴了b事件c，a肯定知道自己說了c，也就是事件1成立，b當然也能推測得出a知道自己說了c，所以事件2成立，a也能推測出b知道自己知道自己說了c，事件3成立，然後如此循環下去，雙方都能推測出無限的信息。而風險信息事件在於在最後一次交流結束後，發出簡訊的一方並不能知道對方有沒有收到自己剛發出的信息，所以信息鏈是終點的，並不能和面對面交流一樣進行無限的推測

按自己的哲學性的思考給出的答案就是:無法做到和面對面事件完全一樣的效果。因為在發信息的風險事件情況下是不存在確定傳達信息的而如果可以做到面對面事件的效果就意味著不確定傳達信息可以代替確定傳達信息這顯然是個謬誤。那麼簡訊閱讀回執這一確定傳達信息解決了這個不確定傳達信息的問題。

我記得小時候有個牌子的蚊香，蚊香盒子上面畫著趙本山拿著這盒蚊香，這個蚊香上面畫著趙本山拿著這盒蚊香。。。。。

贊INT和曉風殘月的答案。

在看到問題的時候就想到了博弈論概念Common Knowledge和Mutual Knowledge，看到以上二位答案解釋的很清楚，想來簡單解釋一下兩個名字。

題主的單個「面對面事件」發生一次，就會成為a與b的Common knowledge，即a知道面對面事件的發生，也知道b知道此事的發生，也知道b知道a知道b知道此事的發生，無限循環……即a和b知道此事發生，且通過此事件知道相互狀態。

Mutual knowledge是比如一次面對面事件發生後，a和b知道發生此事，但他/她不確定b知不知道；即a和b知道事件的發生，但除此之外就不能以這個事件推出對方參加此次博弈的其他的狀態了。

具體到題主這個問題中，Ariel Rubinstein (1989) 發表的The Electronic Mail Game: Strategic Behavior Under "Almost Common Knowledge" 中恰好談及的就是這一問題，發現任意有限階的共有知識（almost common knowledge）都與公共知識不同，表現為博弈過程中參與者的決策在兩種狀態下是不一樣的。
到這裡似乎問題就已經結束了，但是這是一個很弔詭的情況，在現實生活中並沒有出現兩個人反覆不斷地確認狀態以至於無法進行任何工作，也就是說現實中的協調博弈並非總是無法達到一個協調狀態的。
小時候想到的一個數學問題，現在還沒有想明白，可能以後會越來越不明白，有哪位大牛可以幫我解答嗎？ - INT 的回答

詳情查閱tcp三次握手。本質就是每次發信息都帶一個唯一的編號，對方回復你的時候帶一個信息編號回來就知道對方已經確認了

老張：你好（編號A）

老李：（回復A）你也好（編號1）

老張：（回復1）我來查水表（編號B）

老李：（回復B）水表在門外（編號2）

????

小時候跟著媽媽去做禮拜（當然現在不信了）。

那時候我就在想，這世界上到底有沒有神呢？但是我當時又轉念一想，是不是神讓我這麼想的呢？

我又轉念一想，神的想法都被猜到了，肯定沒有神！

我又轉念一想，是不是神故意讓我猜到他的想法的呢？

所以剛剛這個想法也是神讓我這麼想的呢？

那麼我剛剛這個想法也是神讓我這麼想的？

。。。

所以現在誰也不知道有沒有神，只有信不信的問題。

自然數遞增無窮大的問題，遞增前是已知的。

即使互相發送1000條簡訊，我們的心也不會彼此靠近一厘米。

這不就是TCP網路協議的三次握手與四次揮手嘛。

雖然也是學經濟的，但是並不覺得他們回答了你的問題。

你這個問題，有兩個前提啊，第一就是面對面事件默認最後一句話為彼此已知，第二個是風險信息事件的最後一句話為一方知一方未知。所以你再怎麼推測，說的第一個事件（即第一句話）就已經出現這個差別了，因此風險≠面對面。

另外，再說一點，面對面以及風險信息事件是你定義的，不要隨便用於別的地方，有時候並不滿足對應的條件。

從工程上（計算機網路）是這麼解決的：超時重傳機制。

發送方在發送信息後設立一個計時器，等待對方確認，超時後仍未收到對方確認時重發信息。

接收方在接收到信息將消息記錄，然後發送確認。接收方有可能收到重複的消息，此時忽略重複。

正常情況：

A發送的消息正常傳遞給B，B發回的確認正常傳遞給A，整個流程結束。

異常情況1：

A發送的消息沒有成功傳遞給B，A的計時器超時，A重新發送信息給B。

異常情況2：

A發送的信息成功傳遞給B，B發回的確認沒有成功傳遞給A，A的計時器超時，A重新發送信息，此時B收到了兩遍同樣的信息（可以通過信息編號來去重）。

整個重傳過程也有一個計數器，如果重傳超過N次還是失敗，那麼就向用戶報告發送失敗了，讓用戶檢查網路重新發送。

要回答這個問題，首先要明確什麼是信息。怎麼來定義信息。信息的傳遞是一種統計現象。這裡給出資訊理論的經典公式，信息熵的定義。

這個東西度量的是信息量。其中p是事件發生的概率。

所謂信息的傳遞，本質就是消除不確定性的過程。消除了不確定性，即獲得了信息。

面對面事件組合中，傳遞信息的信道是100%可靠的，從消息的產生到傳遞，沒有任何不確定性的引入，每個事件的發生都是100%。換句話說，整個過程都是確定性的。

通信即互通信息。面對面講話是通信，發簡訊也是通信。我們希望無論以什麼形式通信，都能100%消除不確定性，但很遺憾，這種美好並不存在。題主說讓大家不要鑽牛角尖，不要糾結「a的話太長記不住，b心不在焉沒聽見」這些細節，其實也是在做一個假設，即假設面對面的方式100%可靠。對於簡訊來說，則默認存在不可靠性，這是對的。我們不考慮具體概率值，以p表示。只要是p不等於1，那麼這個簡訊的傳輸信道就是不可靠的，就無法100%地消除不確定性。

回到問題：到底是風險信息事件永遠無法構成面對面事件的信息呢，還是在某一條風險信息開始，就擁有了和面對面事件同樣多的信息呢？

相信答案就出來了，是前者。風險信息事件永遠無法構成面對面事件的信息。但是，你可以依概率最大程度地接近面對面事件。

有人提到TCP三次握手的問題，就是一個很恰當的例子。實際上即使是30次握手，也無法保證100%，但工程上在可靠性和有效性之間做了trade-off，即我們可以近似認為，三次握手都能成功，差不多這個信道就是OK的。

btw，記得教課書上講過一個類似的很有意思的例子。

紅軍藍軍問題：紅軍和藍軍都想消滅一波敵人，但是單憑他們一個軍隊的力量都不足以消滅這波敵人，因此他們想到了一起合作，於是紅軍向藍軍發了一封電報，內容是約定好早上8點一起向敵軍進攻，由於他們不確定藍軍是否一定能收到電報，所以只有收到藍軍的回復之後才會進行進攻，而藍軍也是同樣的想法，因為他們不確定紅軍一定能收到自己的回復而在約定好的時間發動進攻，所以他們只有收到紅軍的回復後才發動進攻……

問怎樣才能保證這次戰役一定勝利呢？答案是不可能的，因為雙方都對於自己發出的消息對方是否一定接收得到存在質疑，所以，這樣的通信將一直進行下去，結果將是使勝利的幾率一直接近100%，但是卻永遠達不到100%。

（沒找到最match的圖，可把blue army #1 #2視為紅軍和藍軍）

多提一句，這個問題怎麼解決呢？非要從數學上嚴謹地解決它，無解。但你可以工程上做近似，就像我前面說的TCP三次握手。提前約定好，在X次通信之後，就發動進攻，而不是一直繼續下去。

風險信息永遠無法構成面對面事件，，，，，給你舉個例子吧，假如有個理想的乒乓球，把他從某一高出拋下，由於彈力和重力的雙重作用，它會一直彈下去，雖然每次的高度都比前一次低，但理想狀態下，它還是會一直彈下去，很多次以後，乒乓球雖然近似於靜止，但它並不等同於靜止，這是一種極限的思維，信息的單向傳遞永遠不會構成面對面事件

比較贊同 @皇叔的答案…

假設在面對面事件的交流總次數為M，成功率P1=P2=P...=PM=1，在風險信息事件中交流總次數為N，成功率P1=P2=P...=PN&<1。

如果只考慮第一條信息為有效信息，也就是說交流目標是傳達第一條信息的話，當N趨向正無限時PM=PN。如果將所有0-M和0-N次交流都視為有效信息，則PM不等於PN

無限不循環小數為什麼能用有限的長度表示出來，比如根號二

這個問題中有兩個關鍵信息，小時候想到，大牛給我解答，瞬間高大上。

A對B說C，直到B回復A.。B此時已經知道了A，向A回復，直到B收到A的回復。

個人看來，這件事的意義在於A對B說C，當B回復A，直到A回復B，到這一步，就已經能夠證明兩人都知道C，並且兩人都知道彼此知道了C，故接下來的就沒有意義了。

我是非專業人士，僅為個人的簡單想法。

不邀自來w

我想到了我們計算機網路課堂裡面的一個例子。並不知道這個問題咋解決，但我想到了類似問題的解決方案w

a告訴b，我們明天一起出去玩吧~

b聽到了這個消息，告訴a，我聽到啦。

a聽到了b的聲音，結束。

但是乍一看漏洞很多對不，且聽我慢慢分析。

如果a的消息在半路丟了，b聽不到消息，不會告訴a自己聽到了——a沒有聽到回復，重新發消息。

如果b收到了a的消息，回復的「我收到啦」在半路丟掉了，那麼對於a來說，也是沒有聽到回復，重新發消息。

a需要做的就是發消息，並設定一個時間，一旦在那個時間內沒有收到回復，便重新發消息。

b需要做的就是在收到消息的時候立即給出一個「我收到啦」的回復。

這樣問題就解決啦~

初中看過一道藍額頭房間，跟這個很相似。可能大家都看過(?_?)還是想答一下。(ˊ???????????ˋ)除夕來不及了明天寫

answer:燈開關開關100次，然後所有人都離開房間

1. 先假設進入房間的只有一個人，燈亮後，他發現只有自己，又知道至少一個人被塗了藍色，所以意識到是自己，關燈後，離開房間

2.進入房間兩個人，燈亮後發現對方是藍色額頭，其中一個想:如果我不是藍色，他會意識到只有自己是，關燈後會離開。對方也這麼想，關燈再開燈後，發現對方還在，所以自己也是藍色。於是再次關燈後離開房間。

3、4、5...以此類推

so，最後會出現100次開燈關燈後，大家一起離開。

當然，可以把100換成n，把全部藍色換成x藍色，這樣就轉化成題主的問題了。

小白不能清楚地解釋回答題主的問題，希望這樣解釋題主可以理解吧。(*?︶?*)

這不是內個有名的悖論嗎。。。。說一個人會出乎意料的在一星期的某一天死去，於是他就算了，要是我到周六還沒死，那我肯定周日死，這不出乎意料。那如果我周五沒死，因為周日死不出乎意料，所以一定周六死，以此類推，他覺得自己安全了，結果周二他出乎意料的死了。

100粒穀子也是一堆99粒穀子也是一堆，同樣98、97、96……都是一堆。而顯然1粒、2粒、3粒不算一堆。那多少粒才算一堆？

我發現你小時候的智商比我讀完大學還高

1、永遠無法構成面對面事件

2、100條的效果達不到面對面那麼通透：顯然b知道第100條有發送失敗的可能，因而無法確切知道a會看到第100條。

3、就算第100條發送失敗，效果和99條也是不一樣的：99條的效果是b確切的知道a不知道b是否看到第99條。

難以理解能想到信封博弈，卻會在這裡犯渾，還是長久犯渾。

這其實和以前一個「兩地傳話」的問題很類似，就是你如何確認對方已經收到你的信息。這並不是一個博弈論的問題，而是管理學的問題，涉及一個概念叫做「共同知識」，共同知識是保障溝通正常進行的關鍵要素，是在你所說的「面對面交談」時必然產生的。

其實真的沒有必要在意信息傳達的有效性問題，一般人在交流的時候並不會刻意在乎對方是否接受了（默認是接受了），頂多額外加一層保障，就是常說的「收到請回復」

無論多少次都不可以

解決問題的辦法就是重大決定都要面對面做出重要溝通也要面對面做出

你猜我猜不猜？

66666666，雖然我看不是很懂其他人用博弈論的回答，但是用我們物理的思維，就是極限是可以達到的，可以在有限的無窮小處能看到變數的不變性，就是說在無窮處能看到a，b兩事件成立但是你沒辦法確定量級的問題，也就是說無法保證成立一定真實存在。。。繞回到貓上面去了。。。

tcp協議……

其實我們可以這樣設想.

艹編都編不下去

偏題一發。

很多人提到TCP/IP的三次握手協議，可能有些誤解。

三次握手協議是為了在發送方和接收方建立一條線路，方便後續信息的傳輸，而不能確保發送信息成功。

而保證兩方成功通信的因素是信道的可靠性。信道可靠（並且信道可靠是共識）的情況下，通過3次握手即可。然而題主說的問題也就是信道不可靠的情況，所以正常情況下沒辦法達到面對面事件。

先佔個坑，說句話，免得哪天忘了。

某條信息對雙方價值不完全對等時候，信息會在第二次傳遞過程中在對其更高價值的人處結束。

不了解相關專業，直觀感覺這是一個悖論，文中描述的common knowledge只是一個理想模型，兩個人在房間的對話，信息在物理實質上也是通過光和聲音傳播的，這和多次送信沒什麼兩樣，永遠不可能達到「無干擾」的理想條件，那麼common knowledge本身就是不存在的。那麼再進一步拓展，每一個人對common knowledge本身的理解，乃至在common knowledge之下的行為模式也是差異化的，基於此，即使存在common knowledge也不存在根據common knowledge的可預期絕對行為。

從這個角度再來看面對面說話和送信進行信息交互，那麼區別在於雙方對風險的預期存在質的差別，前者相互認為信息傳輸風險對雙方判斷的影響可接受，後者顯然無限放大了這一風險，這中間就有一個度的區別，即：多少次送信，怎麼送信後認為達成了面對面效果。我認為重點是雙方不能僅僅傳遞信息，而且要傳遞基於信息的判斷和決定本身，包括且不限於風險防範機制。譬如，將軍進攻的問題，只需一次相互送信：

A對B說，敵軍在某地，我定於某時進攻，請你部協同；

B對A說，收到，按時到達協同進攻。

此時就完成了一次協同，這裡有幾個注意點：①A和B不處於絕對平衡角色，A屬於主動方，B屬於協作方；②A和B在信息中有先驗判斷，A發出協同要求前，考慮了B能夠達到位置的客觀能力；B發出信息後，考慮到A作為主動方，在計劃發生變動，或者沒有收到通信的情況下，開展二次協同的義務；③雙方對於持續通信能力是可預期的，即：一次協同後，對方有能力展開二次協同，那麼沒有二次協同本身就傳遞了一次協同成功的信息。

事實上，通過一次協同，就把風險降低了一個房間內的可接受程度。

延伸來說，①雙方都沒有主動行為的協同通信大都沒有結果；②任何追求絕對安全的協同都不存在；③在雙方沒有主導者的條件下，協同過程的風險會被細小因素無限放大，此時，雙方互相之間的預期或者外在條件約束起決定性作用，如果沒有約束，那麼不存在沒有主導者的協同。

說一下我從概率角度對這道題目的理解，歡迎各位批評指正。題目的實質就是a和b之間在傳遞信息，面對面問題中傳遞成功的概率是p1=1（因為樓主說了：兩人面對面，且不存在「a的話太長記不住，b心不在焉沒聽見」的情況）；而在風險信息事件中傳遞成功的概率是p2&<1-p(因為樓主還說了：簡訊有一定幾率會發送失敗，我們記為p）。所以風險信息事件成為面對面事件的概率就是p3=（1-p）^n（當n-&>∞時），由極限可知p3=0，也就是說風險信息事件永遠也不可能成為面對面事件。

這個問題不就是TCP的三次握手嗎？

剪刀石頭布

我想到了TCP的三次握手保證對方接收到了自己的信息。

高網上的bob,alice,trady,經典的信令傳達啊，很類似的，第一次握手建立成功，有兩次確認就可以了。可以看看高級計算機網路

這個問題可以簡化成你對自己說「你是我一秒前的我」然後什麼時候會出錯

歪個樓，iMessage每次發完信息會有個回執，已送達和已讀，這是不是算是解決了這個問題？

其他回答都太學術了，引了一大堆公式和例子，沒幾個人有耐心看。答案是：永遠不可能促成面對面事件，無論成功發了多少條，最後一條簡訊無法確定對方收沒收到，如果沒收到，後面的事件就不成立。拋開這個話題說兩句，現實生活中不需要面對面事件，只要促成三次握手，任何交互都被認為是穩妥的。

甲：信息A（編號1）。

乙：（編號1）（編號2）。

甲，監測到「（編號1）（編號2）」，發送下一信息，若沒有監測到，則重複上述過程。

http的三次握手...面對這種問題傳遞100，期望80就好了....追求過高的精確性價比不高~小學的時候我問老師1和2之間是什麼，答1.1-1.9，我說1.1-1.2之間是什麼？然後被老師叫出去罰站了...我真沒搗亂的意思....後來我知道了量子這個東西

如果單單是確認「收到」與否的話，一個來回後a就會停止確認了吧。a只負責傳出信息，確認b收到後就進入「已確認」狀態。b只負責收信息，收到就進入「已確認」狀態。只要有「不確認」狀態必定促使a重發c從而跳出循環，直到a收到b發來的第一次「收到」即可終止循環。

題主想出來的這個問題很厲害也很有名，其他答主也解答了「風險信息事件」問題，但依問題描述，題主疑惑的應該是最後那段吧？

　　首先，既遂事件的發生概率為1，不能說「（已經成功發送的）第100條簡訊有可能傳達不到」。

例：投兩枚標準硬幣，第一枚為正面朝上，求兩面都朝上的概率。

　　這時，你不能說「因為第一枚有50％的概率為正面朝下，所以兩面都朝上的概率為25％。」

　　但如果不是指既遂事件，而是做一個普遍的推論，那麼我個人猜想應該是至事件3發生，「（基於當事人的理性和邏輯）能達成面對面事件的信息。」

例：

A1:對貴司提出的擬於9月30日簽約的項目合同條款，我方無異議。
B2:收到。
A3:好的。

　　到此，有效的信息交流已經結束，基於AB的理性和邏輯，已經能夠推理出無窮事件，之後的回復都是可有可無的。

　　既，當確保事件3發生，即可確保本次信息交互完成。

這就是為什麼要開啟已讀回復…這樣發送成功和對方已讀就可以直接收到了…兩條簡訊就夠了……（話說題主很厲害的樣子！

突然想到：子非魚，安知魚之樂？子非我，安知我不知魚之樂？子非我，安知我不知子不知魚之樂？……小時候總能和小夥伴這樣說一天

好了我就是來湊熱鬧的

題主想想這個問題:甲、乙兩個人面對面，甲怎麼能知道乙看到了自己，乙又怎麼知道甲已經知道自己（乙）看到甲......在這個問題和題主問的意思完全一致，但想想現實，我們都不會有這樣的疑問，這是為什麼呢？

似乎這已經把題主的問題追溯到形而上了，不過這樣有助於題主理解這樣的道理:當一個問題不在被視為一個問題的時候我們就在相當的程度上發生了變化——變的更加現實了（我們從骨子裡不再關心問題本身了，即我們在一定程度上被現實同化了）。

換句話說，所有的科學都無法確定真實世界到底是什麼樣的，科學只能提供我們自己想要的世界的樣子。

下面是我自己的一個問題:

我的知乎回答：為什麼人能看見事物（世界）？人為什麼能看見世界？因為光線射入眼睛，通過晶狀體聚光，在視網膜上成像，在視錐細胞和視桿細胞的作用下將光信號轉化為電信號傳… http://www.zhihu.com/question/46495073/answer/101541165

這不就是網路和通信原理中說的百分百可靠的通信是不可能達到的嘛

我記得在綠皮的計算機網路里第二章看到過這個問題，答案是永遠不能……明天我翻書看一下……

在收到信息並發信息後，我不知道對方是否收到，但我知道我之前發的信息對方一定收到了。

因此，在我最後一次發了信息卻沒收到回復之前的事件是面對面事件。風險永遠在下一次。

能提出這麼嚴謹的一個問題真是絕了，我佩服的五體投地，你當年沒去學博弈論真是數學界的一大損失…絕對能成大神！

文科生不知博弈論為何物……碰巧小時候思考過跟題主類似的問題，放上來請各位大神解答

首先，「X」為A需要確保傳遞給B的信息，若信息為面對面傳遞，則兩人會共同執行事件（或開始傳遞信息）Y。那麼簡訊傳遞的話，需要幾步才能確認雙方對於X的認知達到面對面的程度呢？

AB兩人需確保：

一、A傳遞X給B

二、B讓A知道自己收到X

三、A讓B知道A知道B收到X

四、B讓A知道B知道A知道B收到X

五、.......

那麼，簡訊內容順序如下：

1、A：你知道X了嗎？

2、B：我知道X了。

3、A：我知道你知道X了（至此 A確認X成功傳達，需要讓B知道3）

4、B：我知道你知道我知道X了（至此 B確認A知道X成功傳達，需要讓A知道4）

5、A：收到（至此可進入執行階段，可同時這條信息又不確定能否成功傳達）

6、B：可以Y了吧？（此處為第一個輪迴節點）

7、A：可以Y了

8、B：我知道你知道Y了....

9、........

......然而Y是永遠無法確認無誤執行的，要想讓Y得到確認，需要一個在Y之後的加入新信息Z的輪迴，也就是說，要想上一個信息得到確認，必須進入新信反覆確認階段...

然而...我知道這個想法是漏洞百出的，想請教各位大神，假如有無數個可以順序發生的信息X、Y、Z……那麼每次新的輪迴即是上一次輪迴的確認階段，問題來了，需要幾步輪迴才能確認上一輪迴呢？如果真的有可能，這個「確認型輪迴」應該是什麼樣子的呢？

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秋豆麻袋，如果加入時間概念呢？比如：雙方只能且必須一分鐘內發一條信息，也就是說，A發給B信息後，如果一分鐘單位時間內，沒有收到B的信息，則默認己方信息發送失敗，重新發送。

這樣的話，這個輪迴是否就有可能了呢？

個人覺得，挺像計算機網路里的報文傳送。裡面舉的一個例子是兩個將軍要進攻，A給B發要進攻，B告訴A收到，A又告訴B，A收到「B收到」這件信息，然後一直交換信息，達不成共識，可能也就是專業大大們講的共同知識，這樣下去，並不知道什麼時候才可以進攻，然而後來講的解決報文傳送的方法，也給忘了，畢竟計算機學渣，見諒一下。以上純屬個人看法。。。不過覺得這個蠻有意思的

信息在AB之間不斷增加啊。信息到達一點後，該點就會在已收到的信息里添加新的信息，信息就變多了。A和B的知識是不可能同步的。

清楚點看下圖：

A []-&> B （0）

A &<-[B] B （1）

A [AB]-&> B（2）

A &<-[BAB] B （3）

當信息到達B，B在信息里添加了「B收到」的信息,此時A手裡掌握的信息比B少。

B再把信息傳給A。A收到信息後，在裡面添加了「"A知道"B收到」的信息，而此時B手頭只有「B收到」的信息。B掌握信息比A少。

也就是說，在信息傳輸過程中，AB所擁有的信息，在不斷的被同步。但是同步完成後，接受端又添加了發送端所不具備的新信息。雙方永遠不可能擁有等量信息。

然而！以上情況並不意味著同步毫無意義! 在這個過程中，二者的「共有知識列表」也在不斷增多。比如，在第（0）步傳輸完成後，B就在B的共有知識列表裡填上了[]。第（1）步傳輸完成後，A就在A的共有知識列表裡填上[B],[]。而在第(2)步完成後，B在共有知識列表中填上[AB], [B],[]。

需要注意的是,A，B除了知道自己的共有知識列表，還可以推測對方的共有知識列表！

比如第(1)步完成後，A知道，B的共有知識列表中有[]。而A也知道，B不確定A的共有知識列表中有沒有[]。所以A不能判定，[]已經成為大家的公共知識。

而到第(2)步完成，B就知道，A的公共知識列表中有[]，並且B知道，A能確定B的共有知識列表中有[]。此時B可以判定，[]已經成為了大家的公共知識！

但是對於A來說呢？在第（2）步完成時，它的知識狀態和第（1）步完成時沒有任何區別！[]是不是公共知識這點還沒得到B的確定。於是它還要等B再發一封信[BAB]（3）,一旦A收到這封信，它就知道B已經確定[]成為公共知識啦！此時A也就感到圓滿了！

然後我們回過頭看，怎麼定義信息發送成功？

就是雙方都確定，[]已經成為了共有知識！

所以，在第(2)步後，B還是不能確定A是否確定[]能否成為共有知識！

所以它還要在（3）中讓A也確定下。而A收到了，此時A能確定B圓滿了，於是A發信息說大圓滿！

說人話

A：今天去海灘么？

B：不去（海灘）

A：知道了（B不去海灘）

B：嗯。（A知道了我不去海灘）

A在收到B發出的信息後，A就明白「A知道了B不去海灘」成為了共有信息。但B還不知道。AB雙方在這一點上沒有絲毫的不確定性。

如果a對b發出消息c，b收到之後，則向a回複信息，表示收到。那麼首先b必須收到消息c後才會回復a，那麼構成他們會互相回複復對方的條件就是，b必須收到消息c，否則沒有接下來的互發收到。

那麼在b必須收到消息c的基礎上，向a發出收到，直到收到a發回收到的反饋後再發送收到信息，因為b不知道是己方發送失敗還是對發送失敗。而a方必須要在收到b的消息後再發送收到消息，直到收到對方的消息後再發送收到消息，一直循環。。。但是在這過程中b已經知曉消息c，a也已經知道b知曉了消息c，不知道的只是雙方風險信息事件N-原本的風險信息事件1和N-原本的的風險信息事件1+1之間的「關係」，造成死循環無法下結論，在雙方風險信息事件1之後，雙方總是在自己已知的情況下向對方拋送未知，所以根本就沒完。

「a知道任意多的奇數號事件，b知道任意多的偶數號事件，則定義此次交涉為「面對面事件」。」

按照此定義我認為如果不是在「任意多」而是「無限多」的情況下，事件2應該也是成立為面對面事件的。

因為事件2雙方都在無限給對方一個未知呀。

以上全部是鄙人個人通過思考得出來的結論，沒有學過相關哲學或者數學，所以文中沒有用到什麼數學原理，如果本文中有任何謬誤或者是完全錯誤的，請各位看官一笑置之，如能批評指正，感激不盡！

你沒上過網么？。。。你猜網路通信的時候所謂的連接是什麼？(^_-)

為什麼會這麼複雜！個人感覺只需要設置超時間隔和重發機制！參考計算機網路三次握手就可以了。

同想過，這哲學上的問題，目前破不了吧

在我們通信上很簡單連續發送一組信息。信息增加一個xx/yy的頭 yy表示總共重發次數 xx表示當前是第幾次重發。回復也是這個格式只要有一條到達你就可以知道對方收到了後面就是收到概率和要求可靠性之間的關係計算

你小時候就能想到這種東西，你確定你不是愛因斯坦的轉世？