A B C 三個人相互射擊， A B C 命中率分別為 30% 50% 100% ，每輪每個人可以任選一個人射擊或者什麼也不做，開槍是同時的；請問，每個人都為了保證自己存活率更高的情況下，射擊的情況以及每個人的存活概率？

01-21

daniel的解答是正確的，但這道題有個變種：開槍不是同時的，而是A先開始開槍，B第二，C最後，然後這樣循環。這樣就複雜一些了，下面給出這個變種問題的解答。

先來點簡單的，也為解決該題做準備。

如果AB單挑，A先開槍，A存活的概率是

30％＋70％×50％×30％＋70％×50％×70％×50％×30％＋……＝0.3/0.65

相應的，B存活的概率是 1-0.3/0.65 = 0.35/0.65

然後看看A、B、C的三人決鬥的情況。三個人的話，那就首先要考慮一下目標了，對於A來說，在C尚存活的情況下，他肯定不會以B為目標，打不中等於浪費機會，打中更慘，下一輪直接被C爆了，所以，先解決威脅大的是正解，於是A會以C為目標。

同理，B會以C目標，C會以B為目標。

下面來看看A的存活概率，分三種可能：

A幹掉了C,B沒有幹掉A，此時問題退化為AB決鬥A先開槍了。

30％×50％×0.3/0.65

A沒有幹掉C,B幹掉了C，此時問題也退化為AB決鬥A先開槍了。

70％×50％×0.3/0.65

A沒有幹掉C,B也沒有幹掉C，C幹掉B，A幹掉C。

70％×50％×30％

全概率事件概率相加，得到A存活的概率為

0.105+3/13≈0.336

B存活下來也分三種可能性：

A幹掉了C,B幹掉A

30％×50％

A幹掉了C,B沒有幹掉A，此時問題退化為AB決鬥A先開槍了。

30％×50％×0.35/0.65

A沒有幹掉C,B幹掉了C，此時問題也退化為AB決鬥A先開槍了。

70％×50％×0.35/0.65

所以B活下來的可能性為0.15+3.5/13≈0.419

C存活的只有一種情況，比較簡單：

A沒有幹掉C，B沒有幹掉C，C幹掉B，A沒有幹掉C,C幹掉A。

70％×50％×70％=0.245

由此我們學到了一個道理：先下手為強！

如果允許棄權，或者朝天開槍，那麼情況又有變化了。

首先B不可能棄權，因為B知道自己是C的目標，而C又百發百中，這個先動手的機會一定不能放棄，如果C已經死了，兩個人對決，先手機會也有優勢。

C更不可能棄權了，一是自己百發百中，二是自己均是A、B的目標。

那A如果第一輪棄權呢。

來算算看。

A的存活概率，分兩種可能：

B幹掉了C，此時問題退化為AB決鬥A先開槍了。

50％×0.3/0.65

B沒有幹掉C，C幹掉B，A幹掉C。

50％×30％

全概率事件概率相加，得到A存活的概率為

0.5（0.3/0.65+0.3）≈ 0.381。

38%的存活概率啊！比之前33.6%的最佳方案高了不少!

看看B的存活概率，只有一種可能性：

B幹掉C，此時問題退化為AB決鬥A先開槍了。

50％×0.35/0.65≈0.269。

C的存活率也很簡單：

B沒有幹掉C，C幹掉B，A沒有幹掉C,C幹掉A。

50％×70％≈0.35

哇喔，看來A的首輪棄權給了A、C更大的存活率，並使得A一躍成為最有希望存活選手！

所以，如果A的邏輯推理學得還不錯的話，必然選擇首輪棄權了。

由此我們又學到了一個道理：鶴蚌相爭，漁翁得利。

第一輪：

B一定會選擇打C，因為打死A對他沒有好處。

同理A也一定會打C。

C會選擇先打B，因為A的威脅較小。

第二輪：

B已經死了，如果C也死了的話，那麼A直接獲勝。

如果C沒有死的話那麼就AC對決。

所以B存活概率0%，

C存活概率（1-0.5）*（1-0.3）*（1-0.3）=24.5%

A只有在第一輪滅了C的情況下才能存活1-（1-0.5）*（1-0.3）=65%

這是博弈論的經典模型，標籤加錯了。給個關鍵詞博弈論+三個火槍手

A應該朝天射擊，B射C，50%命中，C射B，B死亡，A在射擊C，30%命中，若不命中則A死亡。結論是A20%死亡率，B100%死亡，C80%死亡。

威脅最高的是c，因為必殺，所以ab必須先殺他，不然他們就得死，c也會殺威脅較高的b,a因為攻擊威脅小反而不會被攻擊，所以第一輪開槍結果，

a 百分百存活

b 死亡

c 35%存活。

第二輪 c未死

a 死亡

c 70%存活

所以

c 存活率22.4%。

a 存活率65%。

b 存活率0%

這個題目無解，C必然打B，然後B必死，所以B無論做什麼都無法提高自己的存活概率。

所以B可以選擇打任何人，或者不開槍。

再更：

A、B會陷入循環，只要A決定打C，B就會打自己，迫使C打A，接下來A也會打自己，C放棄攻擊（因為C打B的話會讓B反擊）。也就是 A、B都在打自己，C放棄攻擊。但這樣會讓A、B看不到希望（A、B都在期望藉手殺人，因為被C打必死），A、B開始打C。。。

進入剪子包袱錘的節奏。

================================================================

更新：

題設條件下，即使A、B都打自己，第二輪的時候也是B對C的威脅大。所以C還是會打B。B就不會打自己。

================================================================

假設選擇的過程是公開透明的且C有最終選擇權，且如果B的命中概率是0.8的話就好玩了。

那樣的話，B就會選擇打自己，因為B打自己的話命中率0.8（打自己也要遵守基本法），這是B能存活的唯一途徑。

A由於槍法爛，打自己也打不中，成為C的最大威脅被幹掉。

A存活概率0

B存活概率0.2*0.3=0.06

C存活概率0.7*（1-0.2*0.8）=0.588

A減傷70%

B減傷50%

C減傷0%.

是否就是相同的存活率了呢?