有 64 張黑色牌和 64 張紅色牌共 128 張，每摸到黑牌就可以繼續摸下去，直到摸到紅牌為止，紅牌不算，請問平均能摸到幾張黑牌？

01-21

再問一下各位大神，如果把情況拓展到這樣：一副牌有160張，80黑，80紅。然後有一部分在玩家手中，假設紅黑數相等（還是不需要這個依舊能做？），然後此時平均能摸到幾張黑牌？是期望值無限接近於1嗎？怎麼列式呢？麻煩了。。

http://www.zhihu.com/question/19821790 類似題目可參考

解：設摸到的黑牌有X張

概率：

P(X=0)=64/128

P(X=1)=(64/128)*(64/127)

P(X=2)=(64/128)*(63/127)*(64/126)

……

P(X=i)=(64/128)*……*((64-i+1)/(128-i+1))*((64)/(128-i))

期望：E(X)=0*P(X=0)+1*P(X=1)+……+64*P(X=64)

寫了個程序跑了下大概是

0.9846153846153848

張黑牌

@梁文偉和 @陳然想法是對的。這裡主要幫@梁完成驗證，算出一般答案。

一般化，設 n 張紅 n 張黑。

摸了 k 張沒有紅牌的概率是 P(n,k) / P(2n,k)，其中 P(n,k)=n! / (n-k)! 是排列數。

緊接著最後摸到紅牌的概率是 n / (2n-k)，與上面相乘就是摸了 k 張黑牌的概率。

簡化，順便驗證其和為 1：

n * P(n,k) / [P(2n,k) * (2n-k)]（k張黑牌後紅牌的概率）

= n * P(n,k) / P(2n,k+1)（＠梁的式子）

= [n! / (2n)!] * n * [(2n-k-1)! / (n-k)!]（整理）

= [(n!)^2 / (2n)!] [(2n-k-1)! / (n-k)! / (n-1)!]（上下各乘一次(n-1)!，整理）

= C(2n-k-1,n-1) / C(2n,n)（其中C(n,k)=n! / (n-k)! / k!是組合數）

將k從0至n求和，由[1]中式(10)，得概率和為1。（這是概率歸一，不是期望）

最後要算的是，Ans = sum[ k * C(2n-k-1,n-1) / C(2n,n) ]，sum是對k從0至n求和。

方法是計算sum[ (n-k) C(2n-k-1, n-1) / C(2n,n)] （靈感來自@vieplivee）：

方法一：由歸一化，應等於 n - Ans

方法二：因(n-k) * C(2n-k-1, n-1) = n * C(2n-k-1, n)，由[1]中式(10)，得

sum[ n * C(2n-k-1,n) / C(2n,n) ]（注意C(n-1, n)=0）

= n * C(2n, n+1) / C(2n,n) = n * n / (n+1)

比較兩種方法等到的結果，得到最後答案是

Ans = n - n * n / (n+1) = n / (n+1)

本題 n=64, Ans=64/65

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_coefficient#equation_10

如果牌張數是無限多的，那麼就等於1

如果牌張是有限多的，那麼會略小於1（不是無限接近，而是實實在在的小於1，如上面說的64/65，約為0.9846），牌張越多，越接近1

因為當牌張有限的時候，你摸到1張黑牌之後，接下來再摸牌的時候，黑牌的概率就小於50%了，因為黑牌的數量比紅牌少了，越摸越少，直到出現紅牌為止。

[A(m/n)為n個元素中取m個元素的全排列]

n-1張黑牌的概率計算為64*A(（n-1）/64)/ A(n/128)·（歸納猜測總概率為1，求高人理論解釋）則估計1~2左右吧（計算量過大非人力能計算出）以上純屬個人觀點，望高人不吝賜教！

0的概率微微二分之一，1的概率接近四分之一，2的概率約八分之一，3的概率約十六分之一。。。。。。參考http://www.zhihu.com/question/19821790 或許是0~1之間的一個很接近1的數

n張黑牌n張紅牌，從n=1開始,概率p=1/2； n=2,p=2/3; n=3,p=3/4;........猜測n=64時p=64/65 和@陳然的答案(0.9846153846153848..)吻合，是否能確定n張黑牌n張紅牌的情況下概率為n/(n+1)?求新思路。。。

甄姬？

給你思路。

1)摸到0張黑牌，概率為64/128，有64種可能（因為紅牌有64張）。

2)摸到1張黑牌，概率為64/128 * 64/127，有64 * 64種可能。

你自己總結下，找到技巧。不懂可以評論。

1張，這和那個50%生男和生女的問題是一模一樣的。換了種問法罷了。