Fokker-Planck方程具體如何刻畫SDE的？

01-21

FP方程的是概率密度函數隨時間變化的PDE，不含jump，只含drift和diffusion，也就是說，是跳躍項為0的微分形式的Chapman-Kolmogorov方程。
以下只考慮一維情形，高維情形完全類似。（注意：以下過程並不完全嚴格，純heuristic的推導）

考慮SDE： $dx=a(x,t)dt+b(x,t)dW$
對於任意 $fin C^2$ ，有Ito公式： $df[x(t)]={a[x(t),t]f^prime[x(t)]+frac{1}{2}b[x(t),t]^2f^{primeprime}[x(t)]}dt+b[x(t),t]f^prime[x(t)]dW(t)$
考慮 $mathbb{E}(f[x(t)])$ 隨時間變化的方程並假設求導與積分的可交換性：
$frac{d}{dt}mathbb{E}(f[x(t)])=int dxf(x)partial_t p(x,t|x_0,t_0)$
另一方面，利用Ito公式 $frac{d}{dt}mathbb{E}(f[x(t)])=frac{mathbb{E}(df[x(t)])}{dt}=mathbb{E}{a[x(t),t]f^prime[x(t)]+frac{1}{2}b[x(t),t]^2f^{primeprime}[x(t)]}$

從而我們有：
$int dxf(x)partial_t p(x,t|x_0,t_0)=int dx[a(x,t)partial_xf+frac{1}{2}b(x,t)^2partial_{x}^2f]p(x,t|x_0,t_0)$
對上式右端用分部積分並假設我們取的 $f$ 在邊界上的積分為0，得到：
$int dxf(x)partial_tp=int dxf(x){-partial_x[a(x,t)p]+frac{1}{2}partial_x^2[b(x,t)^2p]}$
由 $f$ 的任意性可以得到FP方程：
$partial_tp=-partial_x[a(x,t)p]+frac{1}{2}partial_x^2[b(x,t)^2p]$

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