伽瑪分布和指數分布的關係？

01-21

問題提了好久了，感謝各位的回答，一位答主說這個說的不對，我想是不會的，這段話是我複製了教材上的話。這本書是pitman的，書名應該就叫probability and application之類的吧。可能這段話本來就比較confusing，但正確性應該不必質疑^^
-Suppose we have light bulbs. Further assume that the time that each will burn is exponentially distributed with parameter beta and that the length of life of one bulb is independent of others. The time until the alpha-th one ceases to burn is gamma with parameters alpha and beta. This is true whether we have n(&>alpha) bulbs that burn simultaneously or we burn one bulb after another until alpha bulbs cease to burn.
意思是每個燈泡的壽命成相同的指數分布，第alpha個燈泡熄滅的分布為伽瑪分布嗎？

This is true whether we have n (&>alpha) bulbs that burn simultaneously or we burn one bulb after another until alpha bulbs cease to burn.

這句話的後一半是是正確的。如果燈泡是燒一個換一個，那麼第 $alpha$ 個燈泡熄滅的時刻，是 $alpha$ 個燈泡的壽命之和。每個燈泡的壽命服從指數分布 $mathrm{exp}(eta)$ ，互相獨立的 $alpha$ 個這樣的變數之和服從伽馬分布 $Gamma(alpha, eta)$ 。

前一半則不正確。如果是 $n$ 個燈泡同時點亮，那麼第 $alpha$ 個燈泡熄滅的時刻，是這 $n$ 個燈泡壽命中的第 $alpha$ 小值。這是一個順序統計量，它的計算可以參看這個帖子：http://math.stackexchange.com/questions/80475/order-statistics-of-i-i-d-exponentially-distributed-sample

是的，負指數分布也是一種伽馬分布，是α=1的伽馬分布。伽馬分布具有可加性，伽馬分布與伽馬分布相加還是伽馬分布，所以負指數分布相加是伽馬分布。

指數分布是伽馬分布的一種特殊形式，伽馬分布為多個獨立同分布的指數分布的和分布。j