柯西分布在數學領域有啥用處？舉例科普一下最好～？

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這個問題我也很感興趣，以前研究過一點點econphysics試著能不能看到一些有趣的曲線，用已有的多體問題的模型來解釋，但是由於智商太低失敗了。拋磚引玉來回答，坐等大神。歡迎指正

首先我們引進一個概念叫Stable。

什麼是stable呢，就是兩個滿足於某分布的兩個獨立分布的線性組合依然滿足與該分布，那麼他就是stable的。

最簡單的例子比如Normal distribution，X_1, X_2分別滿足某個參數的Normal Distribution, 那麼顯然a*X_1 + b*X_2也還是一個Normal Distribution。 所以Normal Distribution就是一個stable distribution。

Stable distribution並不是特別多，有名的除了Normal 還有Cauchy Distribution和Levy Distribution。

世界上有那麼多分布，為什麼穩定分布如此重要呢。來舉個例子，比如這是我們學校物理系的Yakovenko一篇論文里的圖，他研究了一下英美收入人群的比例，發現這個分布的尾端是滿足power law的，而中間呢卻滿足Boltzmann Gibbs分布（也就是數學家說的指數分布），於是就會想到統計物理的粒子的問題，於是開開心心的發了一篇文章

但是在實際生活中，經濟學家應用更多的是stable distribution

比如著名的曼德博就用stable distribution研究棉花的價格，Boston University的Stanely也用levy distribution研究過標準普而指數。

為什麼Stable distribution如此常見呢，直到我上學期才大約自己想明白這個問題。

我們都知道簡單的中心極限定理，當數量很大的一堆iid放在一起，最後就趨近於Normal Distribution。但是一個問題是，如果這些iid的方差是發散的，那麼我們沒辦法輕鬆愉快的應用CLT

所以就有了廣義中心極限定理，而廣義中心極限定理的結果就是stable分布。

既然正態分布的應用都如此廣泛，想必Cauchy也是同樣吧。坐等大神。

這大概就是冥冥之中微觀世界對宏觀世界的作用吧。

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本文可能對某篇文章有所參考，但是我實在找不到了不好意思。

去gym一下，回來我會把ref補上

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Model the heavy tailed distribution...

The most interesting example is the Lévy flight, a kind of random walk. I once read a paper using Levy flight to do heuristic optimization, as the levy flight allows some big jumps when searching for the optimal value. This could help us find the global optimal solution and avoid being trapped in some local optimal value.

There is another example as Cauchy distribution is a member of the alpha-Stable distribution in the stochastic limit theory.

You could also check that the well known student t distribution with degree of freedom 1 is just a Cauchy distribution. In addition, non-central t distribution also follows a Cauchy distribution with a different location parameter...However, the t distribution with dof 1 is useless...

In general, I do not think the Cauchy distribution could be very useful. This distribution is ,somehow, too pathological....The tail of Cauchy distribution is too heavy for the real applications... I think that Cauchy distribution is just like Cantor set or Dirichlet function which serve as some interesting/intuitive examples in mathematics

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