有哪些直觀的現象，最終被數學證明是錯誤的?

01-21

這個很多啊我舉幾個數學分析裡面常見的

函數 $f(x)=(x_1,,x_2)$ 關於 $x_1,,x_2$ 分別連續但是關於 $x$ 不連續

函數函數 $f(x)=(x_1,,x_2)$ 關於 $x_1,,x_2$ 有偏導數但是關於 $x$ 不可導

$lim_{n oinfty} int f_n(x),dx$ 和 $intlim_{n oinfty} f_n(x),dx$ 不一定相同

……

為啥舉這幾個呢因為最近導師在黑學物理的說他們什麼都不管極限積分導數什麼的隨便交換更可氣的是學數學好不容易證明他們做的是可行的結果他們又不關心這個問題了……

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Wir müssen wissen,wir werden wissenWe must know, we will know.

來自希爾伯特的演講

1.你以為無窮小只能越乘越小，但這只是有限的情況下正確。無窮個無窮小乘起來可能是無窮大；

2.你以為實數不可數，實際上不是這樣的；

3.你以為你見過的數大都是有理數，所以有理數應該佔大多數。實際上不是這樣:有理數相比無理數可以忽略不計；

4.你以為概率為0的事情一定不會發生，實際上不是這樣；

5.你以為連續函數應該是幾乎處處可導的，實際不是這樣；

6.你以為我上邊幾條都是對的，但實際上第2條是我瞎說的。

處處連續處處不可導函數的存在性

有界變差函數集是Lp函數的疏集(比較出乎我的意料而已)，就是說Lp中任一個函數都幾乎是無界變差的。

我能舉一個函數它在每一個點都有限，但是在每一點的鄰域都無界。

威爾特斯拉函數這種

竟然有這種那麼變態的函數存在…

很多，比如微積分里就有幾個耳熟能詳的例子：

整數與偶數哪個多？

實際上兩個集合是等勢的，類似的還有整數集與有理數集

典型的兩個極限過程的交換，譬如函數項級數在收斂點集內是否一定逐項可積、逐項可導，和函數是否保持連續性的問題

結果發現當然不一定

冪級數的和函數在收斂區間的端點處連續是否意味著冪級數本身在端點收斂？當然不一定

無窮次可導的實函數是否一定可以展開成Taylor級數，並且自身等於Taylor級數的和函數？（即是否實解析）

當然不一定

可導的函數其導函數是否一定連續？當然不一定（不過一定具有介值性）

我以為會有些有趣的打臉科普講解

沒想到全是我看不懂的

存在處處連續處處不可導的函數，還是一大類，分形函數。Weierstrass函數最有名，∑a^n×cos(b^nπx)，a∈(0，1)

辛普森悖論。

自然數集跟偶數集是「一樣大」的，算不算，能找到n多同構映射。。。

數學對應著無窮多種物理世界，而唯一現實的物理世界中的直觀，必然會被剩餘物理世界中的結論打臉。無法得證的猜想例如NP≠P我倒是希望有人能來打我的臉。

日本車不安全，然後被統計學打臉，然後變成不愛國了→_→

兩個質數的間隔其實不是隨著數的增加越來越稀疏的，其實它稀疏到一定程度就不再更稀疏了。

1、好的分類器和差的分類器組合起來，直觀感覺得到的分類器應該是比好的差點，比差的好點，但實際上是可以比兩者都好。

2、無論學習演算法多麼不同，期望性能是相同的。「沒有免費的午餐"定理~NFL。

度量空間中，一列遞減的閉集之交，如果半徑不趨於0，可以是空集

小概率事件等於不存在

我們知道實數集合和整數集合都是無窮大的，那麼？你說實數集合可不可以數？

不可以……你無法找到你二位(不可數無窮大集合)

那麼，正整數集合可不可以數？

可以！你可以在有限時間內數完，儘管這個時間段可能要超過宇宙的年齡，但是你可以數完！

因為你能找到任意一位的數字，例如第10∧32位，你數得出來嗎？——數得出來，他就是10∧32……這就是可數無窮集合這告訴我們無窮大竟然是可以數的！多麼神奇！

那麼，再問一個問題奇數集合和偶數集合那個更大？似乎是偶數集合？因為偶數集合的元素數目好像增長更快呢~

事實上，一樣大！

兩個集合都是無窮增長的，設奇數集合為O，偶數集合為E，存在一種映射f，

f:O→E

使得O，E之間的元素一一對應。顯然這種映射存在：即O的一個元素x，對應E的像是2x 也就是函數

f(x)=2x

其中其中定義域為O，值域為E，顯然兩個集合的元素之間都存在一一對應。而兩個集合都是無窮大，兩個集合的每一個元素都相互對應。於是O和E等價大小，即是一樣大的！

媽媽，無窮大真好玩_(:з)∠)_

還有什麼的無窮大的韋氏超級字典，分球悖論這樣顛覆直覺的東西就不必多說啦！