一道顛覆直覺的數學題，求解釋？

01-21

甲，乙二人輪流投擲一枚硬幣，甲先投，如果出正面則繼續投，一直投到出現反面為止，共投擲了k次，之後乙按同樣規則投幣，如果乙恰好投擲了k-1次，則輸給甲5^(k-1) （5的k-1次方）元錢，如果乙恰好投擲了k+1次，則贏得甲5^k元錢，其他情況視為平局，問：
(1) 分別計算k=1和k=3時，甲和乙贏錢的數學期望。
(2) 求k=n (n&>1)時，甲和乙贏錢的數學期望。
(3) 這個遊戲對甲和乙誰有利（請注意甲和乙在遊戲中身份的對稱性），為什麼？
我自己解法如下：

前兩問：
k=1時，顯然乙不可能輸錢，那麼乙贏錢的期望為 1/4*5=1.25，相應的甲贏錢的期望為-1.25
k=n, n&>1時，乙投擲出n-1次的概率為1/2^(n-1),投擲出n+1次的概率為1/2^(n+1),那麼乙贏錢的期望為-1/2^(n-1)*5^(n-1)+1/2^(n+1)*5^n=0.25*(2.5)^(n-1),即乙贏錢的期望為0.25*(2.5)^(n-1)，甲贏錢的期望為-0.25*(2.5)^(n-1)
第三問：
由前兩問，無論甲投擲出多少次，乙總是有利的。但問題來了，該遊戲中，其實甲乙的身份是完全等價的，本質上就是兩人投幣，投出n-1的給投出n的5^(n-1)元錢，所以對甲和乙應該完全公平。那麼，為什麼一個公平的遊戲，會永遠計算出對乙有利的期望呢？

&因為1.25&>1，級數條件收斂而不是絕對收斂。&

update:

說錯了，級數不是條件收斂，就是發散，所以不滿足期望的定義。

如果我們想根據題主給出的條件期望來求無條件期望，我們會得到：

$frac 5 4cdot frac 1 2 + sum_{n=2}^infty (-frac{5^{n-1}}{2^{n-1}}+frac{5^n}{2^{n+1}}) cdot frac{1}{2^{n}}= frac{5}{8} + frac 1 8 sum_{n=2}^infty (frac {5}{4})^{n-1} ightarrow infty$

此時級數是發散的。

如果我們拆開每一個括弧，構成的是一個奇數項為正，偶數項為負的級數；根據我們的排列方式，正好每兩項相互抵銷，因此題主才會覺得：

其實甲乙的身份是完全等價的

然而由於級數收斂與否不是按照是否能「抵消」看的，在這個情況下，部分和序列是：

$frac{5}{2^3}, 0, frac{5^2}{2^5}, 0, frac{5^3}{2^7}, cdots,0,frac{5^n}{2^{2n+1}},0,cdots$

由於5/4=1.25&>1，所以部分和遞增，於是級數仍然是發散的。

第一個原因是因為這個數列不收斂

第二個原因是因為你算的是個條件概率（條件概率的時候地位是不對等的）

同理

0-1+1-2+2-3+3-4+4……（1）

和

0+1-1+2-2+3-3+4-4……（2）

你的做法是

（1)式中

（0-1）+（1-2）+（2-3）+（3-4）……&<0

（2)式中

（1+0）+（2-1）+（3-2）+（4-3）……&>0

所以二式大於一式

這個方法看起來好像是對的，但是發散的式子並不能這麼算。

如果你算的是加減到小於n的數，兩式都等於0。同理，如果你算甲乙都擲&<=n次的期望，e=0。

抱歉手機打字，格式混亂

若甲投了k次；

乙正好投k-1次的概率是1/2^(k-1)，乙正好投k+1次的概率是1/2^(k+1)。平局無關收益，故可忽略平局，則二者的比例是4:1，即甲贏的概率是4/5，輸的概率是1/5。

則甲的收穫期望是4/5.5^(k-1)-1/5.5^k=-5^(k-2)。

甲的期望是負值，顯然設定對甲不利。

這是條件概率的問題。如果你把問題改成甲和乙同時投N次，如果一方為k次一方為k-1次，然後輸5^(k-1)元，其他情況平局，那麼雙方預期收益都是0.

但是很顯然，在k固定的情況下，乙投k+1次的預期收益肯定大於乙投k-1次的預期收益，因為k+1的概率是k-1的1/4，但是贏的錢是k-1時的5倍。

如果用矩陣(i,j)表示甲i次正面，乙j次正面時甲的收益，如下 $egin{bmatrix} 0-5*1/2^30\ 5*1/2^30-5^2*1/2^5\ 025*1/2^50 end{bmatrix}$ ，可見固定一行或一列的時候收益是不平衡的。

條件概率啊，你所求的其實是給定了甲的投擲次數時乙的期望，兩者當然是不對等的，因為k表面上是個變數，其實在每次分析的時候，k是固定的某數。

概率對等期望不對就是給錢加權的問題啊