猜拳中如果不出石頭，平局兩次算我贏，獲勝的概率有多大？

01-21

猜拳中如果不出石頭，平局兩次算我贏，獲勝的概率有多大？

概率論版本:

原始問題比較簡單

考慮單局即可

列個表, 甲贏乙贏平局都是 1/3

那第二局乙贏的幾率加上平局就是 2/3

所以乙總的勝率就是 (2/3)/3+1/3=5/9

博弈論版本:

突然人群中鑽出了兩個光頭....哦不...是絕頂聰明的人...

那麼這個問題就升級到了博弈論版本...

光頭乙取走了禁手石頭

光頭甲思考了所有可能的情況

光頭甲心算了一下各個純策略的收益函數

找到了如下六個納什均衡點

$egin{array}{cc} left{0,0,frac{1}{3},frac{1}{3},frac{1}{3},0,0,0,0 ight} left{frac{1}{3},frac{1}{3},0,frac{1}{3} ight} \ left{0,0,frac{1}{3},frac{1}{3},frac{1}{3},0,0,0,0 ight} left{frac{1}{3},frac{1}{3},frac{1}{3},0 ight} \ left{0,frac{1}{3},0,frac{1}{3},frac{1}{3},0,0,0,0 ight} left{frac{1}{3},frac{1}{3},0,frac{1}{3} ight} \ left{0,frac{1}{3},0,frac{1}{3},frac{1}{3},0,0,0,0 ight} left{frac{1}{3},frac{1}{3},frac{1}{3},0 ight} \ left{frac{1}{3},0,0,frac{1}{3},frac{1}{3},0,0,0,0 ight} left{frac{1}{3},frac{1}{3},0,frac{1}{3} ight} \ left{frac{1}{3},0,0,frac{1}{3},frac{1}{3},0,0,0,0 ight} left{frac{1}{3},frac{1}{3},frac{1}{3},0 ight} \ end{array}$

呃...這意味甲不會出後面四種策略

歸一化一下各個策略

$left{left{frac{1}{9},frac{1}{9},frac{1}{9},frac{1}{3},frac{1}{3},0,0,0,0 ight},left{frac{1}{3},frac{1}{3},frac{1}{6},frac{1}{6} ight} ight}$

甲第一局不會出布(對面又不會出石頭幹嘛出布)

1/3 幾率出石頭, 2/3 幾率出剪刀

乙的應對是 2/3 幾率出剪刀, 1/3 幾率出布.

瞎推廣下:

給乙帶禁手, 但甲不知道, 設平局 n 次算乙贏

實際上甲的勝率始終小於乙的勝率 $P_{乙}=frac12 (1 - 3^{-n})$

所以乙只要瞎出就行, 甲應該只能始終出某一個拳...

這個結果有點尬...

因為這個博弈很難說是單次還是多次博弈...

n 大一點的話其實像是多次博弈, 但是整個比賽本身是單次博弈...

乙瞎出的話, 就算第一局甲還不知道禁手,難道第十局甲還猜不出來禁手嗎...

好吧, 猜拳連平10局不要玩了, 不如大家一起去買彩票吧..

對手出布要麼平要麼輸肯定不會出，對手如果出石頭則勝率1/2，如果對手出剪刀則勝率1/4平局1/4

如果平局下一局雙方勝率各1/2

故我的勝率=1/4+1/4*1/2=3/8

顯然第一次如果平局第二局的勝率是1/2

假設第一局我的策略是x 剪刀，1-x 布，對手策略顯然不可能出布

對手出剪刀勝率為 x*1/2+(1-x)=1-1/2x, 對手出石頭勝率為x。如果我的策略是納什均衡的策略，x=1-1/2x, x=2/3 即我的策略是2/3剪刀，1/3布，無論對手什麼策略勝率始終不會超過2/3。

類似的可以得出對手策略y 石頭1-y 剪刀，我出布勝率為y，出剪刀勝率為(1-y)/2 兩個相同時y=1/3，對手策略1/3手頭，2/3剪刀的時候我的勝率不會多於1/3(實際上面對這個策略我的勝率也不會小於1/3）

於是雙方都會玩的情況下你的勝率就是1/3了

一共來幾局呢

如果一共來兩局的話

雙方都只能出剪刀和布第一局50%平局

第二局50%平局都平局概率50%*50%=25%

所以你25%概率獲勝哦親