無窮小在現代數學中到底有沒有地位？

01-21

在《什麼是數學》中多次提到，無窮小在近代數學中沒有地位，已經不光彩的退出了歷史舞台，第二次數學危機也是針對無窮小的。但是國內的高數教材中，無窮小貫穿始終；柯朗的兒子也說，無窮小量和無窮大量在非標準分析中再次獲得了了肯定。對這些信息，我有些迷惑，無窮小現在在數學屆處於一個怎樣的境地，希望大牛們能夠解惑。

謝邀。

很有地位。不僅僅是在微積分這種基礎學科中作為語言表述很方便，在現代數學中作為一種idea也很常見。比如切空間就可以看成無窮小的局部流形，與之對應李代數元素也可以看成無窮小的李群元。各種quantization裡面加的那個形式冪級數元也可以看成一種無窮小量（對應到物理里的普朗克常數）。

哦對，deformation theory中的obstructed deformation也是一種無窮小，而且是真正意義上的無窮小，是「不能被積分的moduli space的切向量」。還有評論裡面指出的scheme的nilpotent也是個例子。最簡單的考慮一個thick point，它是一個點加一個切向量，那個切向量就是無窮小的切方向。

謝邀，有沒有地位，這個事兒不是很主觀的嗎。。。

客觀的講，無窮小分析是貫穿數學分析，泛函分析，實變函數，複變函數，傅里葉分析，甚至非線性泛函分析的。

無窮小的廣泛應用之一是泰勒級數，以及複數域內的洛朗級數。

無窮小分析的這種分析方法，廣泛應用於各種數學定理的證明中。

換一種角度來看，無窮小的定義可以說和極限的定義是一致的：我們可以輕鬆的從一個定義出另一個。

所以你可以說，無窮小毫無用處，因為極限代替了它；也可以說無窮小用處很大，因為它可以代替極限。

這便是為何我說，這是一個極其主觀的問題。

但現在的教材，或者是科普讀物，在證明一些主要結論的時候，一般採取哪個方便用哪個。所以在學生的學習角度來看，兩者的運用基本是各半的。

當然了，跳出來看的話，二者本質相同，所以其實就看成一個了。因此無窮小的應用，是貫穿整個高等數學了。

以上基本上是完整的回答了，這段對題主的問題描述稍微說兩句。芝諾的飛矢不動悖論以及第二次數學危機的產生，都是源於當時的人們沒有先定義極限，而是先定義了無窮小這樣一個模糊的概念。人們出於物理上的需要，先把這個模糊的概念投入使用了，而嚴謹的定義卻遲遲沒有做到，這才引發了這次的危機。

危機出現之後，很多數學家和物理學家致力於解決它。牛頓對此做出了很大的貢獻，他首先定義了極限的概念。當然最初的定義漏洞百出，後經多人的修正，終於拿出了一個令人滿意的定義，這便是今日我們所見的定義。

因此本次危機的出現僅僅是因為定義不完善，至於無窮小的地位問題，非要說的話，因本次危機的出現，其定義更加完善，應用更加方便，地位應該是上升了才對。

還是回到開始所說，這本是一個很主觀的問題。

無窮小量，這個概念，在現代數學中幾乎被忽視。我們現在高等數學中的微積分，都是基於極限概念的微積分，已經摒棄了無窮小的概念。究其原因，還是因為「無窮小」自身無法精確定義，或者說其定義與現有著名公理相悖。

這個詞儘管在很多數學書里仍然會出現，但是這時它僅僅作為一個純粹修辭上的辭彙而不是嚴格的數學概念，人們通常用它來指代「極限為零的變數」，也有的時候它被用來作為對微積分運算中的某些符號的稱呼，但是無論何時，人們在使用它的時候都明確的知道自己想說什麼，更關鍵的是，人們知道自己並不需要它，而只是偶爾像藉助一個比喻一樣藉助它罷了。

「比任何大於零的數都小，卻不是零」，這是萊布尼茲給出的解釋，但他違背了阿基米德公理。

阿基米德公理又稱為「阿基米德性質」，其定義為：對任一正數ε，有自然數n滿足1/n&<ε。那麼無窮小量代表的「比任何大於零的數都小，卻不是零」，不就是說明，「不存在自然數n滿足1/n&<ε」嗎？阿基米德原理是一個關於實數性質的基本原理，如果阿基米德原理是錯的，整個數學大概都無法得以建立。這也是無窮小量被人詬病的一大重要原因。

無窮小還是很有地位的。但是現在的研究重點不在這個方面。首先高等數學的大多數內容是在17世紀的時候建立起來的。但是那個時候沒有討論清楚無窮小的定義，以及微積分的基礎。例如求導的過程中怎麼可以一邊增加一個無窮小量來進行除法，一邊又將其視為0來去掉。在分析學和非標準分析中還是比較重要的。但是第三次數學危機涉及到了數學整個系統的完備性，數學界的研究方向和研究氛圍發生了變化，所以有地位，但是研究討論的價值不高。