線性代數的一些名詞概念很模糊？

01-21

什麼是subspace , span,trivial linear combination,dimension of the vector nullity,Rank-nullity theorem .看看好像也知道意思，但是不懂啊。只知其然，不知其所以然。作業會依樣畫葫蘆的做，但是內心迷茫，不懂啊。很模糊啊。最好能遇到個大神給我掃盲下0-0.

先說一個基礎概念：linear space

一個linear space M需要滿足下面的條件： $ain M,bin M,kin R or C,then; a+bin M, k*ain M$

另外，每一個linear space都是一個set

然後要說的就是subset的概念：

若set A是set B的subset，則：

$forall ain A,; ain B$

現在要說subspace的概念就很容易了：

如果一個space X是另外一個space Y的subspace，那麼：

(1) $forall ain X,; ain Y$

(2)X是一個liear space

Span的概念也比較容易解釋：

假設一個set E是由 ${ x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} ... }$ 這些元素組成的，那麼Span E就是由所有這些元素的線性組合組成的一個set，即：

$Span(E)=alpha _{1}*x_{1}+alpha _{2}*x_{2}+alpha _{3}*x_{3}+...; ,; alpha _{1},alpha _{2},; ...; in R; or; C$

很容易看出來Span滿足linear space的條件所以Span也是一個liear space

trivial linear combination說的就是對一個linear combination

$alpha _{1}*x_{1}+alpha _{2}*x_{2}+alpha _{3}*x_{3}+...;$

它的係數 $alpha _{1},; alpha _{2},; alpha _{3},; ...;$ 全部為0。

dimension of the vector nullity這個表達不知道是你從哪裡得到的，看起來比較奇怪……

我覺得應該是指一個matrix的null space的demension吧……

對一個homogeneous system（即 $Ax=0$ ）

所有滿足條件的解構成一個space，這個space叫做null space of A，也叫做kernel(A)或者ker(A)。

也可以從linear mapping角度來解釋：假設一個linear mapping A將一個domain map到一個image上，那麼A有可能會將某個domain里的subset map到0上，這個subset就是A的kernel。可以證明這個subset是一個linear space，因此也叫做null space。它的dimension應該就是你所說的dimension of the vector nullity。

Rank-nullity theorem說的就是：

假設A是一個將space V map到space U上的一個linear mapping則有

$dim(Im(A))+dim(ker(A))=dim(V)$

如果用matrix來說的話，假設A是一個n*n的matrix，則：

$rank(A)+nullity(A)=n$

再通俗點說就是對A進行初等變換後得到的echelon form（行階梯形式），不為0的行數加上全部為0的行數等於這個矩陣的行數。當然因為一般的matrix的row rank和column rank相等，所以變成column echelon form之後用列來計數也是一樣的。

找本中文的教材對著看。。

建議買一本Intruduce to Linear Algebra.MIT的教材，或者去看看網易公開課中的MIT 線性代數吧，國外的線性代數和國內的不太一樣。比如國外的線性代數很注重子空間(subspace) 和四個特殊的子空間(null space column space row space left null space).而國內幾乎無這些概念

推薦一本書，正在看的，linear algebra done right，昨天看到知乎某大神推薦的，有關線性變換的概念解釋得很清楚，一氣呵成的感覺

這些都有嚴格定義的，不知道題主是從哪裡接觸到的。就算是老師講的很簡略，書上也是有的。不看書直接作業很吃虧。

題主是個男♂的啊。那你還是找本書慢慢看吧。