對1024個點的信號做4次256點FFT和1次1024點FFT，請問這兩種方案得到的頻譜之間的關係？

01-21

假設一個M點的信號，如果對其做k次N點DFT或者FFT（k*N&

"如果根據LTI的疊加性，原信號相當於這k個段的疊加（分別取每段的單周期內的部分），看起來原始信號的頻域特性好像還和這麼分段分析的頻率特性有點關係?"

不錯,假如有信號如下:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

如果拆分成4個4點FFT,或者1個16點,其中的數學關係不能憑直覺發現,但是,如果把

這段信號拆分成:

1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 5 6 7 8 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 9 10 11 12 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 13 14 15 16

然後做4次16點的FFT,那麼這4次16點的FFT頻譜疊加,最後得到的疊加後的頻譜就=一次16點的FFT.

那麼,問題就變成了: 1個帶12個0的16點的FFT跟1個4點的FFT之間是什麼關係?

1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

和

1 2 3 4

,他們的頻譜,就相當於1234的4點頻譜做插值成16個點.

至於

0 0 0 0 5 6 7 8 0 0 0 0 0 0 0 0

和

5 6 7 8

之間的關係,你知道根據時移定理,對頻譜乘一個e^-i*2*pi*k*m相當於時域上延遲k個點:

0 0 0 0 5 6 7 8 0 0 0 0 0 0 0 0

可以變形為

5 6 7 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

也就是說,4點4FFT與1點的16FFT的關係,大致相當於:

FFT(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16)=

插值(FFT(1,2,3,4))+插值(FFT(5,6,7,8))*時移+插值(FFT(9,10,11,12))*時移^2+插值(FFT(13,14,15,16))*時移^3

從數學推導可以推導出插值方法,能夠做到數學形式上的統一,工程上的話可以用一些簡單的插值,

頻譜也看得過去

對不起~當時這個沒學好，現在後悔莫及。等我再看一遍書再給你解答

謝邀……不過我不確定自己是否正確理解了你的問題，所以匿了。

fft是dft的一種快速計算方法，利用的是算符W的對稱性與周期性。如果你將fft的計算過程逆推實際就是dft，推到方法可以自行搜索，因為知乎不支持上下標所以真沒法打給你。而dft的頻譜與原模擬信號關係是將模擬信號先抽樣再周期延拓，對應的頻域關係就是先周期延拓再抽樣。只要在抽樣時滿足了奈奎斯特抽樣定律，就可以利用窗函數還原延拓，再利用Sa函數還原抽樣。不知這是不是你想問的，希望有所幫助

fft點數最直觀影響的是頻率解析度。你說的兩種運算，前者頻率解析度fs/1024，後者fs/256；從頻率解析度的角度前者佔優

但是前者只得到一個頻譜圖，而後者得到了4個。如果你分析的是時變信號的話，從後者的4個頻譜圖的分析，你可以獲取一些時頻信息。

學術一點來說，後者叫作短時fft，STFT。你可以根據這個名詞自己科普一下。

如果信號的頻率是穩定的，那麼兩者頻率解析度肯定是FFT長度越長越好，但是如果信號時變的，那麼FFT長度短的時域解析度好