從概率學和心理學層面上分析玩大話骰的攻略？

01-21

大話骰是K房夜店必備遊戲，人們通常以所謂的經驗和膽識取勝，我希望專業人士能從概率學和心理學上分析玩大話骰致勝的法則。

首先核實一下遊戲規則：

假設兩個人玩，

每人的杯中有5個骰子，雙方搖好後只可看到自己杯中所有骰子的點數。
一方先猜兩個人杯中一共有N個T點，其中N 取1到10間的一個整數，T 是1到6之間的整數。
這時對方有兩種選擇：

不相信10個骰子中有N個T或大於N個T點，此時雙方攤牌（掀杯），輸贏自見分曉。
猜10個骰子中有多餘N個T，比如說N+1或N+2個T；也可以猜有N個更大的點數，比如說N個T+1點或N個N+2點。原則是新猜的N和T都不能比對方上一次猜得小。

1點可以當任意點使用，比如五個骰子的點數是1，2，2，3，4，則可以說有三個2點，二個4點。
如果第一個猜骰子從1點開始猜起，即開始就猜共有N個1點，那麼上一條規則作廢，即在此輪遊戲中，1點不再可以當任意點使用。

如果題住所說的遊戲規則與上述描述一致，那麼概率上的分析是這樣的(只用高中的排列組合的知識，很容易理解的)：

雙方搖好骰子後，既然你知道自己杯中的點數，而猜的是兩人杯中某個點數出現次數之和，所以遊戲中只要了解對方杯中的5個骰子每點出現的概率。

隨機的情況下，

五個骰子中只有一個骰子是1點的概率是多少呢？

想像一下你現在隨機擲五個骰子，第一個骰子是1點的概率為 $frac{1}{6}$ ，第二個骰子不是1點的概率為 $frac{5}{6}$ ，同樣第三個到第五個骰子不是1點的概率也同樣為 $frac{5}{6}$ 。所以第一個骰子是1點而其他的都不是的概率是這5個獨立事件（每個篩子的點數都是獨立的，與其他篩子的點數無關）乘積： $frac{1}{6 }$ $imes$ $left( frac{5}{6} ight) ^{4}$ $approx 0.08$ 。再將此值乘以 $C_{5}^{1} =5$ ，便是我們需要的答案了。

為什麼要乘以 $C_{5}^{1} =5$ 呢？因為我們想知道只有一個骰子是1點的概率，這可以是1號骰子，也可以是3號骰子。0.08作為恰好只有1號骰子是1點的概率，也同樣是只有，say，3號骰子為1點的概率。從5個骰子任選一個有多少種取法呢？ $C_{5}^{1} =5$ 。所以要乘以5。

總結一下：5個骰子中只有一個骰子是1點的概率是 $frac{1}{6 }$ $imes$ $left( frac{5}{6} ight) ^{4} imes C_{5}^{1} approx 0.4$

以此類推：

5個骰子中有零個骰子是1點的概率是 $left( frac{5}{6} ight) ^{5} imes C_{5}^{0} approx 0.4$

5個骰子中只有一個骰子是1點的概率是 $frac{1}{6 }$ $imes$ $left( frac{5}{6} ight) ^{4} imes C_{5}^{1} approx 0.4$

5個骰子中有兩個骰子是1點的概率是： $left( frac{1}{6} ight) ^{2}$ $imes$ $left( frac{5}{6} ight) ^{3} imes C_{5}^{2 } approx 0.16$

5個骰子中有三個骰子是1點的概率是： $left( frac{1}{6} ight) ^{3 }$ $imes$ $left( frac{5}{6} ight) ^{2} imes C_{5}^{3} approx 0.03$

5個骰子中有四個骰子是1點的概率是： $left( frac{1}{6} ight) ^{4}$ $imes$ $left( frac{5}{6} ight) ^{1} imes C_{5}^{4} approx 0.003$

5個骰子中五個全部都是1點的概率是： $left( frac{1}{6} ight) ^{5}$ $imes$ $left( frac{5}{6} ight) ^{0} imes C_{5}^{5 } approx 0.0001$

結果如圖一所示：

圖 1

可以看到，杯中五個骰子，沒有1點和只有一個1點的概率相同，且是最大的，均約為0.4。

這時若你的杯中有一個1點的話，比如你的點數是1，2，3，3，4。

你若是猜一共有2個1點，即對方有大於或等於一個1點。那麼你正確的概率約為0.4+0.16+0.03+0.003+0.0001 $approx$ 56%

如果你先猜，某種角度上可以說你比對方多掌握6%的主動權。

對方若相信，並繼續猜說有3個1點，那麼其正確的概率（在你看來）只有約16%。此時，單從概率的角度出發你正確的選擇就是掀杯說不信 $ightarrow$ 對方有84%的概率是錯的。

我們再來看你若你杯中有二個1點的情況：比如說，1，1，2，3，4。還是你先猜的話，若先猜有3個1點，那麼你正確的概率同樣約為56%，若對方有一定的判斷能力的話，會知道雙方共有3個1點的情況是低於有兩個1點的，當對方不跟你玩兒博弈，那麼不信的概率會比上一種情況更大。雖然你的正確的概率沒變，但理性的對方會更傾向於掀杯，這樣的話，你的正確的概率就是56%了。

所以如果你有一個1點的話，那麼不妨第一次就猜共有二個1點，對方若在1點上往上加的話，會有84%，甚至更大的概率是錯的。

反觀，如果你有2個1點，而直接猜共有3個1點，完全理性的對方更容易放棄從1點往上加，掀杯的話，你作為先手，只比對方多了56% - 50%= 6%的正確的概率。

當然上述只是舉個例子，根據規則，你先猜1點後，對方可以直接猜有更多個3點或其它除1以外的點。

下面來看1點可以當作任意點使用的情況。對於2，3，4，5，6點的情況是相同的，不妨拿3點來舉例。

對方的5個骰子中有二個是3點的概率有多大呢？

顯然要大於恰有二個是1點的概率（0.16），因為此時1點也算3點了呀。

擲骰子後，五個骰子中某一個出現3點的概率都是 $frac{2}{6} =frac{1}{3}$ ，而非3點的概率是 $1-frac{2}{6}=frac{4}{6} =frac{2}{3}$ .

之後的分析與1點的情況完全一樣。所以在隨機情況下，我們有：

5個骰子中有零個骰子可被當作3點的概率是： $left( frac{2}{3} ight) ^{5} imes C_{5}^{0}approx 0.13$

5個骰子中有一個骰子可被當作3點的概率是： $left( frac{1}{3} ight) ^{1} imes left( frac{2}{3} ight) ^{4} imes C_{5}^{1}approx 0.33$

5個骰子中有兩個骰子可被當作3點的概率是： $left( frac{1}{3} ight) ^{2} imes left( frac{2}{3} ight) ^{3} imes C_{5}^{2}approx 0.33$

5個骰子中有三個骰子可被當作3點的概率是： $left( frac{1}{3} ight) ^{3} imes left( frac{2}{3} ight) ^{2} imes C_{5}^{3}approx 0.16$

5個骰子中有四個骰子可被當作3點的概率是： $left( frac{1}{3} ight) ^{4} imes left( frac{2}{3} ight) ^{1} imes C_{5}^{4}approx 0.04$

5個骰子中有五個骰子可被當作3點的概率是： $left( frac{1}{3} ight) ^{5} imes left( frac{2}{3} ight) ^{0} imes C_{5}^{5}approx 0.004$

結果如圖二所示：

圖二

可以看到，5個骰子中出現一個或二個3點的概率是最大的，均為0.33。

假設你的杯中點數為1，2，3，3，6. 也就是你有三個3點。你若先猜共有四個3點，即對方有一個或更多3點。可以保證你有約0.33+0.33+0.16+0.04+0.004=0.864的高正確率，

但對方若往上猜，說有5個三點，那麼在你看來其正確率也不低：約為0.33+0.16+0.04+0.004=0.534，

此時你反到被動了，因為他的正確率比50%高（雖然高很有限）。

而你若往上加，即猜，say，有六個3，那麼你是正確的概率率只剩 0.16+0.04+0.004，約為0.2。

圖三是，隨機擲10個篩子只出現N個T點的概率（演算法與之前相同）：

圖三

擲出大於等於3個『3』點的概率約為0.7（0.7=0.26+0.28+0.14+0.056+0.016）

擲出大於等於4個『3』點的概率約為0.44

擲出大於等於5個『3』點的概率約為0.2.

擲出大於等於6個『3』點的概率約為0.07

也就是說盲猜（不知道有沒有這麼叫和這麼玩的。。。）的話只要大於3個你就該不信了。

博弈

你跟我玩兒的話，

情況一：

假如你的點數是：1，2，3，3，6 ，而你先猜共有四個3點。

我看了看自己的點數（假如是3，4，4，5，6）. 我有隻一個3點，並知道你有大於或等於三個3點的概率僅約為0.2（0.16+0.4+0.04）。所以在我看了自己的點數後，我會猜不信。雖然這輪我輸了。但如果玩很多輪的話，我會堅持這種選擇。

情況二：

依舊假如你的點數是：1，2，3，3，6 ，你仍先猜共有四個3點。

這回我的點數是3，3，4，5，6，即我有兩個3點。我知道你有大於或等於2個3點的概率為0.534，我看來你是正確的概率為0.534。

此時我若在3點上往上加，即我猜你有三個或更多的3，在我看來正確的概率盡僅為0.2。

於是我怎樣都處於劣勢，為了挽回劣勢，我直接猜雙方共有四個6點，這裡玩兒的就是博弈了。因為我只有一個6點，而你可能有三個或更多地6點的概率，與你有三個或更多個3點的概率相同，都約為0.2。但通過這樣的變化，我挽回了一些主動權：我猜的是6點，你可能以為我與你一樣，所猜的點是自己有的較多的點數。

你再看一下自己的點數，有二個「6」點。對你來講雙方一共有四個或更多的6點的概率，即我有二個或更多6點的概率為0.534. 此刻，你的處境與剛才的我十分相似：不相信，則有53.4%的概率輸掉次輪，而若繼續猜有五個6點，那麼你輸掉的概率為80%。而你此時沒機會再跟我玩兒博弈了（這也是為什麼我直接猜6點的原因），因為6點不能再往上加到7點了。你若不掀杯，只能猜更多的個數：五個6點。我當然是不會相信的，因為在我看來那概率僅為0.2。

於是此刻你明智的做法就是不信，因為輸掉的概率53.4%小於80%。

大概是這樣的。不同例子還會有很多些不同的變數。通過上述分析可以自行分類討論了。

三人甚至多人的情況完全可以根據以上內容自行計算和分析。

通過概率和博弈，每次直接猜到臨界狀態，即對方再往上加你就攤牌，那麼每輪大抵超不過3個回合，就不好玩兒了。

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