對於任意最大角不大於120度的三角形，是否存在一點使得從該點射向三頂點的三條射線兩兩成120度角？

01-21

先上八卦。

說到三角形，大家知道內心、外心、垂心、等等等等……已經頭大了吧？事實上，目前三角形已經有超過 5000 個心了。（註：「三角形的心」是數學術語，不是隨便什麼點都可以 http://en.wikipedia.org/wiki/Triangle_center）

一個叫 Kimberling 的數學家為此編製了一份在線《三角心百科》（Encyclopedia of Triangle Centers）

http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html 文字版

http://www.uff.br/trianglecenters/etcwc.html 互動版

現在回答。

沒錯，這個點叫做「第一等角點」(first isogonic point)，在 Kimberling 的百科中是第 13 個點。

如果三角都小於 120 度，那麼三邊相對該點展開的角度都是 120 度，即題主所問的情況。

此時，該點和費馬點 (Fermat point) 重合，即該點到三頂點的距離和最小。http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_point

如果有一個角大於 120 度，那麼三邊相對該點展開的角度是 120，60，60，應該也算等角。作圖方法是，由三邊向外作等邊三角形，然後連接等邊三角形頂點與相對的頂點。

補充一些東西好了。

那個點叫第一 Fermat 點。

如果三角形每一個角都小於 120 度，它是到三點距離之和最小的一點——否則，那個鈍角是。這是非常著名的 Fermat 點問題，有許多獨特的擴展。另外，它是更廣泛的施泰納問題的特殊情形。

構造它不困難，你可以利用圓周角的性質。

是的，存在

而且要理解其實不難

先任意找一個點，從這個點放出三條射線，兩兩120度，嗯嗯，恰好那麼多，真是神奇

任意的任一個角都不大於120度的三角形都可以使得它們三個頂點恰好落在三條射線上

先把一個其中一個頂點放在一條上，這不難吧，顯然可以啊。

然後把另一個點放在另一條射線上，這顯然可以啊，應該可以理解吧，就相當於把一條線段兩端放到為120的角的兩條邊上。

然後，通過滑動三角形兩個點在兩條射線上的位置可以讓第三個點落到第三條射線上。

這麼滑動即可：把三條射線的交點放到中間，讓第三條還沒有被放上三角形頂點的射線往上射。假設目前第三個頂點在這條射線右側，我們就把落在右側的射線上的三角形頂點移向中間的交點，另一個在左側的頂點則可以沿著射線向外滑動。而那個還沒在射線上的第三個頂點一定會靠近向上射的赤裸的射線，並且它在被移向中間交點的那個頂點碰到交點之前，一定會落到第三條射線上，如果直到正移向交點的三角形頂點碰到交點，它還沒落到射線上的話，那這個落到交點上的三角形的頂點角一定大於120度，很明顯嘛，有個點還在射線右側沒有落到射線上，形成的角度肯定大於射線夾角120。